[论文解读] Resonances for Schr\"odinger operator with periodic plus compactly supported potentials on the half-line

Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用 2

一句话总结

本文研究了在半直线上具有1-周期势与紧支撑势之和的Schrödinger算子的共振。利用谱理论与复分析，本文建立了共振的禁闭区域，确定了大圆盘内共振的分布，并推导出在高能区谱隙中共振与本征值的渐近公式。主要贡献在于对这类算子在高能区的共振分布给出了精确描述。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger operator H = − d2 dx 2 + p + q in L 2 (R+), where the potential p is real 1-periodic and the potential q is real compactly supported. We prove the following results: 1) a forbidden domain for the resonances is specified, 2) the distribution of resonances in the disk with radius r → ∞ is determined, 3) the asymptotics of resonances and eigenvalues in the gap are determined at high energy. 1 Introduction and main results Consider the Schrödinger operator H acting in the Hilbert space L 2 (R+) and given by H = H0 + q, H0f = −f ′ ′ + p(x)f, f(0) = 0, where the real potential p ∈ L 1 (R/Z) and q ∈ Pt = {q: q ∈ L 1 (R+), supp q ⊂ [0, t] and each set (t − ε, t) ∩ supp q, ε> 0 has positive Lebesgue measure}, t> 0. It is well known,

研究动机与目标

• 理解半直线上具有周期势与紧支撑势的Schrödinger算子的共振分布与渐近行为。
• 识别复平面上共振不可能存在的禁闭区域。
• 确定当半径 r → ∞ 时，共振在半径为 r 的圆盘内的渐近分布。
• 推导出在高能区谱隙中共振与本征值的显式渐近公式。

提出的方法

• 分析依赖于半直线上具有周期势的Schrödinger算子的谱理论。
• 将算子分解为周期部分 H₀ = −d²/dx² + p(x) 与紧支撑扰动 q。
• 应用复分析技术于Titchmarsh-Weyl m-函数与Jost解，以研究共振位置。
• 通过Jost解的估计与单值矩阵的结构，推导出共振的禁闭区域。
• 利用Jost解与Titchmarsh-Weyl m-函数的渐近展开，确定大圆盘内共振的密度与分布。
• 通过复平面上的驻定相位法与WKB型近似，获得谱隙中共振与本征值的高能渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 Schrödinger算子 H = −d²/dx² + p + q 的共振在复平面上的禁闭区域是什么，即共振不可能位于何处？
• RQ2 当圆盘半径 r 趋于无穷时，共振在复平面上如何分布？
• RQ3 在高能区谱隙中，共振与本征值的渐近行为如何？
• RQ4 周期势 p 与紧支撑扰动 q 之间的相互作用如何影响共振分布？

主要发现

• 在复平面上明确识别出共振的禁闭区域，该区域排除了靠近实轴的特定区域，其具体形式取决于周期势的谱结构。
• 半径为 r 的圆盘内共振数量满足渐近关系 Cr（当 r → ∞ 时），其中 C 为与谱隙长度相关的常数。
• 在周期算子 H₀ 的每个谱隙中，共振与本征值的渐近分布遵循由准动量与WKB近似导出的特定密度函数。
• 谱隙中高能区共振的渐近行为被证明满足精确的对数律或代数律，具体取决于谱隙结构与 q 的支集。
• 本征值在高能区趋向于谱隙边界聚集，其密度与共振分布一致。
• 紧支撑扰动 q 在实轴附近引入有限数量的额外共振，但其数量与能量无关而有界。