[论文解读] Resonant energy exchange in nonlinear oscillatory chains and Limiting Phase Trajectories: from small to large systems

L. I. Manevich, В. В. Смирнов|ArXiv.org|Mar 30, 2009

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 3被引用 14

一句话总结

本文提出极限相轨迹（LPT）作为分析弱耦合非线性振子链中强能量交换的基本框架，为在完全能量转移系统中替代非线性模态（NNMs）提供了一种新方法。LPT能够对强烈的模间能量交换进行解析描述，揭示分岔与类似碰撞的振动动力学，并通过共振耦合与分离子合并机制解释大系统中局域激发（类似呼吸子）的出现。

ABSTRACT

We present an adequate analytical approach to the description of nonlinear vibration with strong energy exchange between weakly coupled oscillators and oscillatory chains. The fundamental notion of the limiting phase trajectory (LPT) corresponding to complete energy exchange is introduced. At first we propose a simple analytical description of vibrations of nonlinear oscillators. We show that two dynamical transitions occur in the system. First of them corresponds to the bifurcation of anti-phase vibrations of oscillators. And the second one is caused by coincidence of LPT with separatrix dividing two stable stationary states and leads to qualitative change in both phase and temporal behavior of the LPT. Next problem under consideration relates to intensive intermodal exchange in the periodic nonlinear systems with finite (n>2) number of degrees of freedom. We consider two limiting cases. If the number of particles is not large enough, the energy exchange between nonlinear normal modes in two-dimensional integral manifolds is considered. When the number of the particles increases the energy exchange between neighbor integral manifolds becomes important that leads to formation of the localized excitations resembling the breathers in the one-dimensional continuum media.

研究动机与目标

• 开发弱耦合非线性振子中强能量交换的解析框架，其中由于缺乏叠加性，传统非线性模态（NNMs）失效。
• 引入极限相轨迹（LPT）作为NNMs的动力学替代，其特征为振子间完全能量转移。
• 研究LPT随系统规模演化时如何导致大周期链中类似呼吸子的局域激发形成。
• 分析频率共振、非对称性及边界条件在触发能量局域化与动力学转变中的作用。

提出的方法

• 采用快时间τ₁与慢时间τ₂ = ετ₁的双尺度渐近方法，推导复变量φ₁、φ₂的振幅方程。
• 推导模态振幅f₁、f₂慢变的耦合拟线性微分方程组，以捕捉能量交换动力学。
• 将LPT定义为对应于两个振子间完全能量转移的轨迹，其由相位条件Δ = 0（超正弦模态）或Δ = π/2（椭圆模态）确定。
• 通过分离子形成分析分岔，特别是当LPT与分隔稳定静止态的分离子重合时。
• 将LPT框架应用于有限N > 2的周期链，研究二维积分流形中的模间耦合，并分析N增大时向三维动力学的转变。
• 利用数值模拟验证通过分离子合并与频率失谐产生的局域激发与混沌呼吸子的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 极限相轨迹（LPT）如何描述弱耦合非线性振子中完全能量交换？其与非线性模态（NNMs）有何不同？
• RQ2 当耦合强度与非对称性等参数变化时，系统中发生何种动力学转变，特别是在分岔点附近？
• RQ3 在自由度数不断增加的周期链中，LPT如何演化？其如何导致类似呼吸子的局域激发形成？
• RQ4 高频模态（如π模态）与邻近模态之间的准共振在能量局域化及混沌行为出现中起何作用？
• RQ5 边界条件与系统长度如何影响能量局域化的起始，以及分离子与LPT轨迹的合并？

主要发现

• LPT为弱耦合非线性振子对中的强能量交换提供了完整的解析描述，当LPT与分离子重合时，其时间振幅轮廓类似于振动冲击振动。
• 存在两种动力学转变：(1) 反相振动的分岔；(2) 当LPT与分离子合并时的临界转变，导致相位与时间动力学的定性变化。
• 对于有限N > 2，2D积分流形中简并NNMs的共振耦合导致缓慢能量转移，而随着N增大，相邻流形间的耦合增强，促进局域化激发的形成。
• 当π模态的分离子在临界能量阈值E = π²/(3βN)处与LPT合并时发生能量局域化，该阈值与链长无关，导致能量被限制在有限区域内。
• 局域化的临界占据数为X_c = 16π²/(27β)，当占据数超过此值时，系统出现新的LPT，将闭合轨迹与穿越轨迹分隔，标志着混沌呼吸子动力学的开始。
• 系统非对称性抑制完全能量转移：当非对称性低于某一阈值时，完全交换停止，超正弦模态恢复稳定，而椭圆模态则变得不稳定。