[论文解读] Resonant-state expansion for a simple dispersive medium

M. B. Doost, W. Langbein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2015

Photonic and Optical Devices被引用 5

一句话总结

本文将共振态展开（RSE）方法扩展至遵循欧姆定律色散关系的色散介质，其中介电常数随频率反比变化，源于频率无关的电导率。该方法通过利用零频率处的单极点，保持了原始RSE的线性特性和矩阵维度，实现了对掺杂硅和BK7玻璃等系统中共振态的精确高效计算，当基态数N=200时，误差低于10⁻⁸。

ABSTRACT

The resonant-state expansion (RSE), a rigorous perturbative method developed in electrodynamics for non-dispersive optical systems is applied to media with an Ohm's law dispersion, in which the frequency dependent part of the permittivity scales inversely with the frequency, corresponding to a frequency-independent conductivity. This dispersion has only a single pole at zero frequency, which is already present in the non-dispersive RSE, allowing to maintain not only the linearity of the eigenvalue problem of the RSE but also its size. Media which can be described by this dispersion over the relevant frequency range, such as optical glass or doped semiconductors, can be treated in the RSE without additional complexity. Results are presented using analytically solvable homogeneous spheres, for doped silicon and BK7 glass, both for a perturbation of the system going from non-dispersive to dispersive media and the reverse, from dispersive to non-dispersive media.

研究动机与目标

• 将共振态展开（RSE）方法扩展至由欧姆定律色散关系决定的频率依赖介电常数介质。
• 在引入色散特性的情况下，保持原始RSE的线性特性和固定矩阵尺寸。
• 实现对掺杂硅和BK7玻璃等实际色散光学系统中共振态的精确高效计算。
• 通过解析可解的球形系统（包含非色散与色散扰动）验证该方法的有效性。

提出的方法

• 形式化建立适用于介电常数ε(ω) = ε₀ + iσ₀/ω的RSE，该关系对应于频率无关的电导率σ₀。
• 利用格林函数形式化方法，结合无扰系统共振态的谱分解，推导出广义矩阵特征值问题。
• 通过利用色散关系中零频率处的单极点，保持与非色散RSE相同的矩阵维度。
• 将该方法应用于具有电导率或介电常数扰动的均匀球体，基态取自无扰系统。
• 使用标准数值算法求解所得广义特征值问题，保持计算效率。
• 将RSE结果与TE和TM模的精确解析解进行比较，考察不同基态数N下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不增加矩阵尺寸或破坏线性特性的前提下，共振态展开（RSE）能否扩展至欧姆定律色散介质？
• RQ2 色散关系中零频率处的单极点是否使RSE保持计算效率？
• RQ3 RSE在掺杂硅和BK7玻璃等色散系统中计算共振态的精度如何？
• RQ4 对于色散扰动，RSE随基态数N增加的收敛行为如何？
• RQ5 RSE能否以相近的精度处理从非色散到色散介质以及从色散到非色散介质的双向扰动？

主要发现

• 由于零频率处存在单极点，RSE在扩展至欧姆定律色散介质时仍保持线性且矩阵尺寸不变。
• 当N=200时，RSE预测的共振波数相对误差降至10⁻⁸量级，显著低于使用欧姆定律近似处理Sellmeier色散时产生的10⁻⁴–10⁻⁵误差。
• 对于色散系统中的TE和TM模，误差随基态数N的增加按N⁻³规律收敛。
• 即使色散关系不满足因果性，RSE仍能准确再现掺杂硅和BK7玻璃中的共振态，原因在于使用虚数电导率来表示介电常数的实部。
• 计算成本仅比非色散RSE增加两倍，保持了其效率优势。
• 该方法成功处理了从非色散到色散介质以及从色散到非色散介质的双向扰动，且在两个方向上均保持一致的精度。