[论文解读] Restricted Stirling and Lah numbers, and their inverses

David Galvin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文為受限第二类和第一类斯特林数以及拉赫数的逆矩阵提供了组合解释，其中块、环或列表的大小被限制在包含 1 的集合 R ⊆ ℕ 中。對於偶數 r，受限斯特林矩阵的逆矩阵中的條目可直接由森林計數；對於奇數 r，則解釋為森林集合之間的符號差異。這些結果透過冪級數反演技術推廣至任意包含 1 的 R。

ABSTRACT

Let ${n \brace k}_{[r]}$ denote the number of ways of partitioning a set of size $n$ into $k$ non-empty blocks, each of which has size at most $r$. For all $r$ we find a combinatorial interpretation for the entries of the inverse of the matrix $\left[{n \brace k}_{[r]} ight]_{n,k \geq 1}$. For even $r$ we exhibit sets of forests counted by the entries of the inverse. For odd $r$ our interpretation is as the difference in size between two sets of forests. This answers a question raised by Choi, Long, Ng and Smith in 2006. More generally we consider restricted Stirling numbers of the second and first kinds ${n \brace k}_{R}$, ${n \brack k}_{R}$, and Lah numbers $L(n,k)_{R}$, for ${R} \subseteq {\mathbb N}$. These are defined to be the number of ways of partitioning a set of size $n$ into $k$ non-empty blocks (for Stirling numbers of the second kind), cycles (for Stirling numbers of the first kind) or lists (for Lah numbers) with the size of each block, cycle or list in ${R}$. For any ${R}$ satisfying $1 \in {R}$ (a necessary condition for the inverses to exist) we find combinatorial interpretations for the entries of the inverses of the matrices $\left[{n \brace k}_{R} ight]_{n,k \geq 1}$, $\left[{n \brack k}_{R} ight]_{n,k \geq 1}$ and $\left[L(n,k)_{R} ight]_{n,k \geq 1}$, as the difference in size between two sets of forests. In the case of Stirling numbers of the second kind and Lah numbers, for certain ${R}$ we can do better, interpreting the inverse entries directly as counts of single sets of forests. Among these ${R}$'s are those which include $1$ and $2$ and which have the property that for all odd $n \in {R}$, $n \geq 3$, we have $n\pm1 \in {R}$. Our proofs depend in part on two combinatorial interpretations of the coefficients of the reversion (compositional inverse) of a power series.

研究动机与目标

• 回應 Choi、Long、Ng 和 Smith（2006）提出的問題，即受限第二類斯特林數（塊大小不超過 r）的逆矩陣的組合含義。
• 將此解釋推廣至受限第一類斯特林數與拉赫數，並在一般大小約束 R ⊆ ℕ 下進行。
• 為受限分拆數的逆矩陣條目建立統一的組合框架——基於符號差異與森林的直接計數。
• 描述可將逆矩陣條目解釋為直接計數（而非符號差異）的集合 R，特別是包含 1 和 2 且對奇數 n ≥ 3 滿足 n → n±1 封閉的集合。

提出的方法

• 使用冪級數的複合逆（反演）係數作為關鍵分析工具，以推導組合解釋。
• 構造一族森林，其基數對應於逆矩陣中的條目，並為奇數大小約束分配符號。
• 應用兩種不同的反演係數組合解釋，以統一處理第一類與第二類斯特林數及拉赫數。
• 定義受限第二類斯特林數 ${n race k}_{R}$、第一類斯特林數 ${n rack k}_{R}$，以及拉赫數 $L(n,k)_{R}$ 為大小屬於 R 的分拆中塊、環或列表的計數。
• 證明當 R 包含 1 且對奇數 n ≥ 3 滿足 n±1 封閉時，逆矩陣條目可直接計數森林，無符號交替。
• 使用生成函數與森林的結構分解，透過符號或無符號集合大小來建模逆矩陣條目。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於受限第二類斯特林數（塊大小不超過 r）的矩陣 $[{n race k}_{[r]}]_{n,k \to 1}$ 的逆矩陣，其條目的組合含義為何？
• RQ2 當塊/環/列表大小受限於集合 R ⊆ ℕ 時，受限第一類斯特林數與拉赫數的逆矩陣條目如何進行組合解釋？
• RQ3 對於哪些集合 R ⊆ ℕ（滿足 1 ∈ R）可將逆矩陣條目解釋為森林的直接計數，而非符號差異？
• RQ4 冪級數反演的係數在推導這些組合解釋中扮演何種角色？
• RQ5 能否使用統一框架，將第一類與第二類斯特林數及拉赫數的解釋統一起來？

主要发现

• 對於偶數 r，$[{n race k}_{[r]}]$ 的逆矩陣條目計數特定類型的森林，提供直接的組合解釋。
• 對於奇數 r，條目被解釋為兩組森林之間大小的符號差異，解決了 Choi 等人（2006）提出的開放問題。
• 對於任意 R ⊆ ℕ 且 1 ∈ R，$[{n race k}_{R}]$、$[{n rack k}_{R}]$ 和 $[L(n,k)_{R}]$ 的逆矩陣條目由森林基數的符號差異給出。
• 當 R 包含 1 和 2 且對奇數 n ≥ 3 滿足 n±1 封閉時，逆矩陣條目可直接計數森林，無符號交替。
• 證明依賴於冪級數複合逆係數的兩種組合解釋，統一處理了不同數類型的處理方式。
• 該框架可推廣至所有受限分拆數，包括第一類與第二類斯特林數及拉赫數，在任意包含 1 的大小約束 R 下均適用。