[论文解读] Restriction de la représentation de Weil à un sous-groupe compact maximal ou à un tore maximal elliptique

Khemais Maktouf, Pierre Torasso|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了在p-adic域（p ≠ 2）上，Weil表示在辛群的极大紧致子群或极大椭圆环面内的限制。利用表示论技术，证明了此类限制分解无重数，并明确识别出不可约分量或其特征标，为这些子群提供了完整且无重数的分解。

ABSTRACT

Weil's representation is a basic object in representation theory which plays a crucial role in many places: construction of unitary irreducible representations in the frame of the orbit method, Howe correspondence, Theta series,... The decomposition in irreducible of the restriction of Weil's representation to maximal compact subgroups or anisotropic tori of the metaplectic group is thus an important information in representation theory. Except for SL(2), this was not known in the p-adic case. In this article, we prove that the restriction of the Weil representation over a p-adic field, p different from 2, to maximal compact subgroups or maximal elliptic tori is multiplicity free and give an explicit description of the irreducible representations or characters occurring.

研究动机与目标

• 理解在p-adic域上的辛群中，Weil表示限制到极大紧致子群或极大椭圆环面时的结构。
• 确定此类限制是否以无重数或有重数方式分解。
• 明确描述分解中出现的不可约表示或特征标。
• 为这些关键子群的限制提供不可约分量的完整且精确的分类。
• 扩展对Weil表示在辛群设定下限制到非分裂或紧致子群时行为的理解。

提出的方法

• 作者使用p ≠ 2的p-adic域上的Weil表示理论。
• 他们通过调和分析与特征标理论，分析Weil表示从辛群到极大紧致子群的限制。
• 他们应用半单群中极大椭圆环面的理论，研究其在Weil表示上的作用。
• 通过Weil表示在海森堡群及其相关Schr"odinger模型上的作用来分析分解。
• 利用显式的特征标计算与表示论对偶性，识别不可约分量。
• 证明依赖于辛群的结构以及Weil表示在子群限制下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p-adic域（p ≠ 2）上，辛群的Weil表示限制到极大紧致子群时是否无重数分解？
• RQ2 限制到极大紧致子群时，Weil表示分解中出现的显式不可约分量是什么？
• RQ3 Weil表示在限制到辛群中的极大椭圆环面时如何分解？
• RQ4 能否显式描述限制中不可约分量的特征标？
• RQ5 辛群与Weil表示的哪些结构性质确保了在这些情形下无重数分解？

主要发现

• Weil表示限制到辛群的极大紧致子群时，其分解无重数。
• 限制到极大紧致子群时的不可约分量，可通过其特征标或表示显式描述。
• 限制到极大椭圆环面时，分解同样无重数。
• 通过特征标数据显式识别出环面限制中的不可约分量。
• 该分解是典范的，且不依赖于选择，反映出Weil表示结构中深层次的对称性。
• 这些结果对所有满足p ≠ 2的p-adic域均成立，p = 2的情形因辛群设定下的技术障碍被排除。