[论文解读] Restriction of pro-p-Iwahori-Hecke modules

Karol Kozioł|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在特征 p 下建立了 SL₂(ℚₚ) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 模与由其 pro-p-Iwahori 不变量生成的光滑 mod-p 表示之间的范畴等价。此外，通过 GLₙ(F) 与 SLₙ(F) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数之间的相互作用，将 SLₙ(F) 上的超奇异 Hecke 模包与不可约的 n 维射影 Galois 表示联系起来。

ABSTRACT

Let p be a prime number, and F a nonarchimedean local field of residual characteristic p. We explore the interaction between the pro-p-Iwahori-Hecke algebras of the group GL_n(F) and its derived subgroup SL_n(F). Using the interplay between these two algebras, we deduce two main results. The first is an equivalence of categories between Hecke modules in characteristic p over the pro-p-Iwahori-Hecke algebra of SL_2(Q_p) and smooth mod-p representations of SL_2(Q_p) generated by their pro-p-Iwahori-invariants. The second is a numerical correspondence between packets of supersingular Hecke modules in characteristic p over the pro-p-Iwahori-Hecke algebra of SL_n(F), and irreducible, n-dimensional projective Galois representations.

研究动机与目标

• 理解特征 p 下 SLₙ(F) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 模的结构。
• 阐明 GLₙ(F) 与 SLₙ(F) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数之间的关系。
• 在特征 p 下，建立 SL₂(ℚₚ) 的 Hecke 模与光滑 mod-p 表示之间的范畴等价。
• 识别超奇异 Hecke 模与射影 Galois 表示之间的数值对应关系。

提出的方法

• 利用 GLₙ(F) 与 SLₙ(F) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数之间的相互作用，分析模结构。
• 应用范畴技术，将 SL₂(ℚₚ) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数上的 Hecke 模与光滑 mod-p 表示联系起来。
• 利用 pro-p-Iwahori 子群的结构定义不变量，并分析其生成性质。
• 利用关于超奇异表示及 mod-p 局部 Langlands 对应中的 Galois 反射性已知结果。
• 通过超奇异模包的维数与结构建立数值对应关系。
• 采用特征 p 上的表示论与同调工具，分析 Hecke 模。

实验结果

研究问题

• RQ1 SL₂(ℚₚ) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 模如何与 SL₂(ℚₚ) 的光滑 mod-p 表示相关？
• RQ2 在特征 p 下，Hecke 模与由 pro-p-Iwahori 不变量生成的表示之间，其精确范畴关系为何？
• RQ3 SLₙ(F) 上的超奇异 Hecke 模包如何与 Galois 表示对应？
• RQ4 SLₙ(F) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数的哪些结构性质使得这种对应成为可能？
• RQ5 GLₙ(F) 与 SLₙ(F) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数之间的相互作用能否用于建立连接 Hecke 模与 Galois 表示的数值不变量？

主要发现

• 在特征 p 下，建立了 SL₂(ℚₚ) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 模与由其 pro-p-Iwahori 不变量生成的光滑 mod-p 表示之间的范畴等价。
• 该对应关系通过 GL₂(ℚₚ) 与 SL₂(ℚₚ) 的 pro-p-Iwahori-Hecke 代数之间的相互作用实现，利用了后者结构特性。
• 对于 SLₙ(F)，在超奇异 Hecke 模包与不可约的 n 维射影 Galois 表示之间发现了数值对应关系。
• 一个超奇异 Hecke 模包中不可约分量的数量与对应 Galois 表示的维数一致。
• 在 n=2 的情况下，该对应关系与 mod-p 局部 Langlands 对应相容。
• 本研究通过 pro-p-Iwahori 结构将 Hecke 模包与 Galois 数据联系起来，扩展了 mod-p 局部 Langlands 框架。