[论文解读] Restructuring of Discrete Logarithm Problem and ElGamal Cryptosystem by Using the Power Fibonacci Sequence Module M

Çağla Özyılmaz, Ayşe Nallı|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于模合数 $ m $ 的幂斐波那契序列上的离散对数问题的新型 ElGamal 密码系统变体。通过利用这些序列的循环与乘法群结构，作者将离散对数问题重新表述为在合数模下成立，从而构建了一种新型密码系统，提升了安全性并扩展了明文空间，超越了传统的基于素数的 ElGamal 系统。由于攻击者面临更高的计算难度，该新系统展现出优越的密码学优势。

ABSTRACT

In this paper, we have studied on adapting to asymmetric cryptography power Fibonacci sequence module m . To do this, We have restructed Discreate Logarithm Problem which is one of mathematical difficult problems by using power Fibonacci sequence module m and by means of this sequences, we have made the mathematical difficult problem which is used only in prime modules is also useful for composite modules. Then we have constructed cryptographic system based on this more difficult problem which we have rearranged. Hence, we have obtained a new cryptosystem as ElGamal Cryptosystem. Lastly, we have compared that ElGamal Cryptosystem and a new cryptosystem which we constitute in terms of cryptography and we have obtained that a new cryptosystem is more advantageuos than ElGamal Cryptosystem.

研究动机与目标

• 通过使用模 $ m $ 的幂斐波那契序列，将离散对数问题的应用范围从素数模扩展到合数模。
• 基于模 $ m $ 的幂斐波那契序列上的重述离散对数问题，构建一种新型公钥密码系统。
• 通过增加密码分析的难度并扩展明文空间，改进 ElGamal 密码系统。
• 证明新系统相较于标准 ElGamal 在复合模条件下提供了更强的密码学安全性。

提出的方法

• 定义模 $ m $ 的幂斐波那契序列，证明其构成 $ \mathbb{Z}_m^* $ 的循环乘法子群。
• 将离散对数问题重新表述为：寻找满足 $ \alpha^a \equiv \beta \pmod{m} $ 的 $ a $，其中 $ \alpha $ 是模 $ m $ 的幂斐波那契序列所导出子群的生成元。
• 利用 $ \alpha $、$ \beta = \alpha^a \mod m $ 和一个随机数 $ k $，构建一种类似 ElGamal 的新密码系统，计算 $ y_1 = \alpha^k \mod m $，$ y_2 = x \cdot \beta^k \mod m $。
• 通过私钥 $ a $ 实现解密：$ x = y_2 \cdot (y_1^a)^{-1} \mod m $。
• 采用合数 $ m $（如 $ m = 1045 $），并令 $ \alpha $ 为 $ \mathbb{Z}_m^* $ 中某子群的本原元，以增大明文空间。
• 通过具体实例演示：$ m = 1045 $，$ \alpha = 338 $，$ a = 547 $，$ x = 1001 $，$ k = 162 $，得到密文 $ (y_1, y_2) = (229, 374) $，且能正确解密回 1001。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用模 $ m $ 的幂斐波那契序列，将离散对数问题重新表述为在合数模下成立？
• RQ2 基于模 $ m $ 的幂斐波那契序列构建的密码系统，是否可作为标准 ElGamal 的更安全替代方案？
• RQ3 新系统的明文空间在大小与安全性方面，相较于经典 ElGamal 系统有何差异？
• RQ4 使用合数 $ m $（特别是 $ m = 5p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots $）对新密码系统的安全性与效率有何影响？
• RQ5 模 $ m $ 的幂斐波那契序列能否生成 $ \mathbb{Z}_m^* $ 的循环乘法子群，且其阶整除 $ \varphi(m) $？

主要发现

• 模 $ m $ 的幂斐波那契序列构成 $ \mathbb{Z}_m^* $ 的循环乘法子群，其阶整除 $ \varphi(m) $，为密码学应用提供了代数结构。
• 通过使用模 $ m $ 的幂斐波那契序列，离散对数问题被重新表述为可在合数模下成立，从而将该问题的应用范围从素数域扩展至更广范围。
• 新密码系统（命名为模 $ m $ 的幂斐波那契序列 ElGamal）支持最大至 $ m-1 $ 的明文，而标准 ElGamal 仅限于 $ p-1 $，显著扩展了明文空间。
• 在相同安全级别下，新系统使攻击者需尝试的可能值数量增加，从而增强了对暴力破解攻击的抵抗力。
• 以 $ m = 1045 $，$ \alpha = 338 $，$ a = 547 $，$ x = 1001 $，$ k = 162 $ 为例，加密结果为 $ (229, 374) $，且能正确解密回 1001，验证了方案的正确性。
• 由于在使用幂斐波那契序列的合数模设置下，求解离散对数问题的复杂度显著提高，新系统相较于标准 ElGamal 更具优势。