[论文解读] Results in descriptive set theory on some represented spaces

Mathieu Hoyrup|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过证明某些开集——特别是Baire空间 ℵℕ 的开集空间中的 Σ⁰₂ 子集——不可能是 Borel 集，且不存在从 Kleene-Kreisel 空间 ℕ⟨α⟩ 或 Baire 空间到这些空间的开集的连续或可计算满射，从而在表示空间的描述集合论中建立了基本限制。这些结果通过使用多值、无不动点函数的精细对角论证法以及可规范化的空间概念推导得出。

ABSTRACT

Descriptive set theory was originally developed on Polish spaces. It was later extended to $ω$-continuous domains [Selivanov 2004] and recently to quasi-Polish spaces [de Brecht 2013]. All these spaces are countably-based. Extending descriptive set theory and its effective counterpart to general represented spaces, including non-countably-based spaces has been started in [Pauly, de Brecht 2015]. We study the spaces $\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$, $\mathcal{C}(\mathbb{N}^\mathbb{N},2)$ and the Kleene-Kreisel spaces $\mathbb{N}\langleα angle$. We show that there is a $Σ^0_2$-subset of $\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$ which is not Borel. We show that the open subsets of $\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$ cannot be continuously indexed by elements of $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ or even $\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$, and more generally that the open subsets of $\mathbb{N}\langleα angle$ cannot be continuously indexed by elements of $\mathbb{N}\langleα angle$. We also derive effective versions of these results. These results give answers to recent open questions on the classification of spaces in terms of their base-complexity, introduced in [de Brecht, Schröder, Selivanov 2016]. In order to obtain these results, we develop general techniques which are refinements of Cantor's diagonal argument involving multi-valued fixed-point free functions and that are interesting on their own right.

研究动机与目标

• 研究表示空间中开集的描述复杂性，特别是 Baire 空间和 Kleene-Kreisel 空间等非可数基设定下的情况。
• 解决 [dBSS16] 中引入的空间的基复杂性分类中的开放问题，特别是关于普遍开集存在的问题。
• 将有效和经典描述集合论扩展至一般表示空间，超越波兰空间和拟波兰空间，重点关注参数化与可枚举性。
• 开发基于康托对角论证的一般技术，以在连续和可计算设定下证明不可能性结果。
• 澄清在马尔科夫可计算性和 Σ¹ₖ-Oracle 枚举的背景下，开集的可计算与连续参数化的界限。

提出的方法

• 将康托对角论证法适配于开集空间中的多值函数，使用无不动点构造以否定普遍参数化的存在性。
• 引入“可规范空间”概念，以处理参数化中的外延性问题，特别是在处理泛函和等价类时。
• 显式构造在开集格上无不动点的多值函数，从而能够对潜在的普遍集合进行对角化。
• 使用实现实现和表示方法，将拓扑和可计算性理论性质转化为逻辑类（例如 Σ⁰₂、Σ¹ₖ），从而实现在不同空间之间的比较。
• 将对角方法应用于 ℵℕ 的可计算开集空间，证明其无法从 Σ¹ₖ-集合或 Δ¹ₖ-Oracle 中枚举。
• 证明 ℵℕ×ℵℕ 的开集空间 𝒪(ℵℕ×ℵℕ) 与 ℵℕ 之间存在可计算同构，这意味着 ℵℕ 到 𝒪(ℵℕ) 的任何可计算满射均不可能存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 𝒪(ℕℕ) 的一个 Σ⁰₂ 子集不是 Borel 集？
• RQ2 对于 α ≥ 2，ℕ⟨α⟩ 的开集能否由 ℕ⟨α⟩ 的元素连续参数化？
• RQ3 对于 k ≥ 2，是否存在从 ℕ 的 Σ¹ₖ 子集对 ℕ⟨k⟩ 的可计算开集进行可计算枚举？
• RQ4 ℕ 的马尔科夫半可判定开集是否为 Σ⁰₃-可枚举？
• RQ5 𝒪(ℕᴹ) 的表示的定义域的精确复杂度是什么？它如何限制参数化？

主要发现

• 存在一个 𝒪(ℕℕ) 的 Σ⁰₂ 子集不是 Borel 集，表明在此设定下 Borel 层次不会坍缩。
• 对于每个可数序数 α ≥ 2，不存在从 ℕ⟨α⟩ 到 𝒪(ℕ⟨α⟩) 的连续满射，因此不存在 ℕ⟨α⟩-普遍开集。
• 对于 k ≥ 2，不存在从 ℕ 的任何 Σ¹ₖ 子集或通过 Δ¹ₖ-Oracle 对 ℕ⟨k⟩ 的可计算开集进行可计算枚举。
• ℕᴹ 的可计算开集（即马尔科夫半可判定集）不是 Σ⁰₃-可枚举的，因为它们无法被任何 Σ⁰₃-集可计算参数化。
• 空间 𝒪(ℕᴹ × ℕᴹ) 与 𝒪(ℕᴹ) 之间存在可计算同构，这意味着 ℕᴹ 无法连续或可计算地满射到 𝒪(ℕᴹ)。
• 𝒪(ℕᴹ) 的表示的定义域是一个 Π⁰₃-集，因此 ℕᴹ 的可计算开集是 Π⁰₃-可枚举的，但不是 Σ⁰₃-可枚举的。