[论文解读] RESULTS ON THE SUPREMUM OF FRACTIONAL BROWNIAN MOTION

Ceren Vardar|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文利用自相似性，建立了赫斯特参数 H > 1/2 的反射分数布朗运动（fBm）的上确界与其首次击中水平 1 的 hitting time 之间的联系。利用 Jensen 不等式和 Markov 不等式，推导出上确界二阶矩的上界 a²ᴴ，并进一步通过伽马分布的性质对尾部概率边界进行精细化。讨论了在金融市场的应用。

ABSTRACT

We show that the distribution of the square of the supremum of re∞ected fractional Brownian motion up to time a, with Hurst parameterH greater than 1/2, is related to the distribution of its hitting time to level 1, using the self similarity property of fractional Brownian motion. It is also proven that the second moment of supremum of re∞ected fractional Brownian motion up to time a is bounded above by a 2H . Similar relations are obtained for the supremum of fractional Brownian motion with Hurst parameter greater than 1/2, and its hitting time to level 1. What is more, we obtain an upper bound on the complementary probability distribution of the supremum of fractional Brownian motion and re∞ected fractional Brownian motion up to time a, using Jensen’s and Markov’s inequalities. A sharper bound is observed on the distribution of the supremum of fractional Brownian motion by the properties of Gamma distribution. Finally, applications of the given results to flnancial markets are investigated, and partial results are provided.

研究动机与目标

• 研究 H > 1/2 时，反射分数布朗运动的上确界与其首次击中水平 1 的 hitting time 之间的关系。
• 推导反射 fBm 在时间 a 之前上确界二阶矩的上界。
• 将分析扩展至标准 fBm 的上确界及其首次击中时间分布。
• 利用随机不等式和伽马分布的性质，改进上确界尾部概率的估计。
• 探讨结果在金融建模情境中的潜在应用。

提出的方法

• 利用分数布朗运动的自相似性，将上确界分布与水平 1 的击中时间分布联系起来。
• 应用 Jensen 不等式和 Markov 不等式，推导出上确界互补累积分布函数的上界。
• 利用伽马分布的性质，获得 fBm 上确界尾部概率的更紧上界。
• 通过自相似性和矩分析，推导出反射 fBm 上确界二阶矩的上界 a²ᴴ。
• 将框架扩展至标准 fBm 和反射 fBm，比较其上确界分布与击中时间行为。
• 通过部分结果分析其在金融市场中的影响，尤其在建模长程依赖性和波动性方面。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 H > 1/2，反射 fBm 上确界分布与其首次击中水平 1 的 hitting time 之间有何关系？
• RQ2 在时间 a 之前，反射 fBm 上确界二阶矩的上界是什么？
• RQ3 能否利用伽马分布的性质，为 fBm 上确界获得更紧的尾部概率边界？
• RQ4 在自相似性下，fBm 的上确界与击中时间分布之间有何关系？
• RQ5 这些结果对具有长程依赖性的金融市场的资产价格动态建模有何影响？

主要发现

• 通过自相似性，时间 a 之前反射 fBm 上确界平方的分布与水平 1 的击中时间分布相关联。
• 对于 H > 1/2，时间 a 之前反射 fBm 上确界二阶矩的上界为 a²ᴴ。
• 通过 Markov 不等式和 Jensen 不等式，推导出上确界互补累积分布函数的上界。
• 通过利用伽马分布的性质，获得了 fBm 上确界尾部概率的更紧上界。
• 结果可扩展至标准 fBm，表明其上确界与首次击中水平 1 的时间之间存在类似关系。
• 提供了对金融市场的部分应用，表明其在建模长记忆过程和极端价格波动方面的相关性。