[论文解读] Resurrection of von Neumann's No-Hidden-Variables Theorem

Paul Busch|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 1999

Quantum Mechanics and Applications被引用 3

一句话总结

本文通過證明：任何對量子效應的賦值（當其在非對易效應上要求可加性，且這些效應之和本身也為一效應時），必須唯一地推廣為有界自伴算子空間上的線性泛函，從而迫使賦值對應於一個量子態，從而使賦值無法是無方差的，進而恢復了馮·諾依曼定理的核心結論。此結論基於一個物理上合理的假設。

ABSTRACT

Von Neumann's theorem on the impossibility of non-contextual hidden variable theories for quantum mechanics has been criticized on account of its unfounded assumption of the additivity of the valuation function for noncommuting observables. Starting from the fact that the additivity is operationally meaningful for noncommuting sets of effects whose sum is an effect, we show that any effect valuation extends to a unique linear functional on the space of bounded self-adjoint operators and hence must be a quantum state. It follows that no effect valuation can be dispersion-free.

研究动机与目标

• 通過解決長期以來對非對易觀測量中可加性假設的批評，重新建立馮·諾依曼的無隱變量定理。
• 識別出賦值函數在非對易效應上可加性具有物理意義的條件。
• 證明任何此類賦值必須推廣為有界自伴算子空間上的線性泛函，從而使其等價於一個量子態。
• 證明在這種擴展的可加性條件下，任何效應賦值都不可能是無方差的，從而恢復定理的結論。

提出的方法

• 假設賦值函數在非對易效應集合上具有可加性，且這些效應之和本身也為一效應，即使這些效應不對易。
• 利用有界自伴算子的代數結構，將賦值推廣至整個算子空間上的線性泛函。
• 應用泛函分析技術，證明任何此類推廣都必須透過Riesz表示定理表示為一個量子態。
• 證明推廣後的泛函的線性性意味著賦值不可能是無方差的。
• 建立可加性條件在涉及非對易效應的量子測量中具有操作意義。
• 證明推廣的唯一性意味著賦值完全由一個量子態決定。

实验结果

研究问题

• RQ1 馮·諾依曼的無隱變量定理是否能在一個關於賦值可加性的物理合理假設下被恢復？
• RQ2 在什麼條件下，非對易效應的賦值函數可加性具有操作意義？
• RQ3 對非對易效應集合的可加性要求（其和仍為一效應）是否迫使賦值可表示為一個量子態？
• RQ4 在這種擴展的可加性條件下，是否可能存在無方差的效應賦值？
• RQ5 效應賦值推廣至有界算子空間上的線性泛函是否具有唯一性且類似於量子態？

主要发现

• 任何在非對易效應集合上具有可加性的效應賦值（其和本身也為一效應），都可唯一地推廣為有界自伴算子空間上的線性泛函。
• 此線性泛函必須對應於一個量子態，因其可透過Riesz表示定理表示。
• 推廣的唯一性意味著賦值完全由一個量子態決定，從而消除了非態類賦值的自由度。
• 此類賦值不可能是無方差的，因為量子態本質上具有統計方差。
• 在一個物理上合理且具有操作意義的假設下，此結果恢復了馮·諾依曼原始結論。
• 本文通過證明可加性假設並非任意，而是根植於量子測量的實際情境，從而解決了對馮·諾依曼定理的批評。