[论文解读] Revêtements cycliques qui ne sont pas stablement rationnels

Colliot-Thélène, Jean-Louis, Alena Pirutka|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

French Urban and Social Studies参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文证明了在 n ≥ 3 时，某些在复射影空间 ℙⁿ 上、关于非常一般超曲面（次数为 mp）的、素数次循环覆盖（degree p）在满足 n+1 ≤ mp 且 m(p−1) < n+1 ≤ mp 的条件下，不是稳定有理的。通过在正特征下使用专一化技术及零循环的 Chow 群，作者建立了包括双覆盖（在 ℙ³ 上关于四次曲面和六次曲面的双覆盖）在内的广泛 Fano 代数簇的非稳定有理性的结果，并将结果推广至数域上的情形。

ABSTRACT

En appliquant des méthodes développées par Kollár, Voisin, nous-mêmes, Totaro, nous montrons qu'un revêtement cyclique de $\mathbb P_{\mathbb C}^n, n\geq 3$ de degré premier $p$, ramifié le long d'une hypersurface très générale de degré $mp$ n'est pas stablement rationnel si $m(p-1)

研究动机与目标

• 建立复数域上 ℙⁿ（n ≥ 3）的广泛循环覆盖的非稳定有理性。
• 将 Kollár、Voisin 和 Totaro 的方法推广，利用 CH₀-普遍平凡性证明非稳定有理性。
• 构造明确的非稳定有理的 Fano 代数簇例子，包括在数域上的情形。
• 推广先前关于 ℙ³ 上关于四次曲面（Voisin）和六次曲面（Beauville）的双覆盖结果。
• 证明在所研究的情形中，CH₀-普遍平凡性的失败意味着非稳定有理性。

提出的方法

• 在正特征 p > 0 的离散赋值环上，适配 CH₀-普遍平凡性的专一化方法。
• 将 Kollár 和 Totaro 在正特征下关于稳定有理性的结果应用于循环覆盖。
• 采用如下判别准则：若一个代数簇是 CH₀-普遍平凡的，则它是稳定有理的；若此性质不成立，则为非稳定有理。
• 在有限域 𝔽_q 上构造一个具有光滑约化的模型，然后通过专一化提升至数域。
• 利用条件 m(p−1) < n+1 ≤ mp 确保覆盖不是稳定有理的。
• 应用奇异点解消理论及族中零循环的专一化理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，关于非常一般超曲面（次数为 mp）的 ℙⁿ（n ≥ 3）的素数次循环覆盖（degree p）不是稳定有理的？
• RQ2 CH₀-普遍平凡性专一化方法能否推广至双覆盖以外的循环覆盖？
• RQ3 关于循环覆盖的非稳定有理性结果是否在数域上也成立，而不仅限于复数域？
• RQ4 不等式 m(p−1) < n+1 ≤ mp 与 Fano 代数簇中稳定有理性的失败有何关联？
• RQ5 Voisin 和 Totaro 的方法能否推广至更高次的循环覆盖，例如 ℙ⁴ 的三重覆盖？

主要发现

• 在 n ≥ 3 时，关于非常一般超曲面（次数为 mp）的 ℙⁿ 的素数次循环覆盖（degree p），若满足 m(p−1) < n+1 ≤ mp，则不是稳定有理的。
• 该结果包括在 ℙ³ 上关于非常一般四次曲面的双覆盖，恢复了 Voisin 的结果。
• 该结果也包括在 ℙ³ 上关于非常一般六次曲面的双覆盖，恢复了 Beauville 的结果。
• 该方法在数域上构造了非稳定有理的 Fano 代数簇的例子，而不仅限于复数域。
• 当 p=3、n=4 且 mp=6 时，本文构造了一个 Fano 4- fold（即 ℙ⁴ 的三重覆盖），其不是稳定有理的。
• 特殊纤维中 CH₀-普遍平凡性的失败，意味着在数域上的通用纤维是非稳定有理的。