[论文解读] Revêtements du demi-plan de Drinfeld et correspondance de Langlands p-adique

Gabriel Dospinescu, Arthur-César Le Bras|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文通过计算 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的德里引理 $p$-进上半平面的平态覆叠的德拉姆上同调，为 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/\mathbf{Q}_p)$ 的某些二维德里姆伽罗瓦表示提供了 $p$-进局部兰兰道斯对应关系的几何实现。结果证实了布雷伊与斯特劳奇的猜想，即通过这些覆叠的上同调，将 $p$-进自守形式与 $p$-进伽罗瓦表示联系起来。

ABSTRACT

We describe the de Rham complex of the étale coverings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p.

研究动机与目标

• 为某些二维德里姆伽罗瓦表示提供 $p$-进局部兰兰道斯对应关系的几何实现。
• 计算 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的德里引理 $p$-进上半平面的平态覆叠的德拉姆上同调，如布雷伊与斯特劳奇所猜想。
• 通过德里引理上半平面的上同调，建立 $p$-进自守形式与 $p$-进伽罗瓦表示之间的联系。
• 将 $p$-进霍奇理论与 $(\varphi,\Gamma)$-模的框架扩展至 $p$-进自守形式的语境。

提出的方法

• 利用德里引理上半平面的 $p$-进一致化，将其上同调与自守表示联系起来。
• 应用艾默顿在 $p$-进设定下对局部与全局兰兰道斯对应关系的相容性。
• 通过基里洛夫模型与对偶性，构造覆叠上同调与表示空间之间的 $G$-等变态射。
• 在罗巴环上使用 $(\varphi,\Gamma)$-模，将上同调与伽罗瓦表示联系起来。
• 运用泛函分析技术，证明上同调对应中关键态射 $\Phi$ 的满射性。
• 分析局部解析向量与 $P$-有限向量，以构造表示的对偶并将其与上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过德里引理 $p$-进上半平面的平态覆叠的德拉姆上同调，实现 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/\mathbf{Q}_p)$ 的德里姆表示的 $p$-进局部兰兰道斯对应关系？
• RQ2 这些覆叠的上同调中实现的 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$-表示的精确结构是什么？
• RQ3 德里引理上半平面的上同调如何与一个德里姆伽罗瓦表示相关的 $(\varphi,\Gamma)$-模相联系？
• RQ4 如布雷伊与斯特劳奇所猜想，$p$-进局部兰兰道斯对应关系能否通过德里引理塔的上同调实现？
• RQ5 局部解析向量与基里洛夫模型在连接上同调与 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 的表示理论中起什么作用？

主要发现

• 计算了德里引理上半平面的第 $n$ 个覆叠 $\Sigma_n$ 的德拉姆上同调，并证明其结构与 $p$-进局部兰兰道斯对应关系相容。
• $H^1_{\mathrm{dR,c}}(\Sigma_n)$ 的第一上同调群被证明带有与表示 $\Pi(\pi,0)$ 同构的 $G$-作用，该表示是德里姆伽罗瓦表示 $\rho$ 的 $p$-进局部兰兰道斯提升。
• 从上同调到表示空间的态射 $\Phi$ 被证明是满射，从而确认了对应关系的几何实现。
• 该构造建立了覆叠上同调与通过基里洛夫模型实现的 $p$-进伽罗瓦表示的局部解析对偶之间的 $G$-等变同构。
• 本文证实了布雷伊-斯特劳奇猜想：这些覆叠的德拉姆复形实现了非可三角化的德里姆表示的 $p$-进局部兰兰道斯对应关系。
• 该结果提供了卡亚罗尔非交换卢宾-塔特理论的 $p$-进类比，将经典几何实现推广至 $p$-进设定。