[论文解读] Revan-degree indices on random graphs

R. Aguilar-Sanchez, I. F. Herrera-González+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2022

Graph theory and applications被引用 5

一句话总结

本文在随机图上引入并分析了基于Revan度的拓扑指数与乘法拓扑指数，提出了新的不变量 $RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)$ 和 $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)$，其基于Revan顶点度 $r_u = \Delta + \delta - d_u$。研究证明，归一化的 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ 随平均Revan度 $\langle r\rangle$ 而变化，且在稠密图极限下推导出解析表达式，揭示了在低 $\langle r\rangle$ 时与标准度基指数的关键差异。

ABSTRACT

Given a simple connected non-directed graph $G=(V(G),E(G))$, we consider two families of graph invariants: $RX_Σ(G) = \sum_{uv \in E(G)} F(r_u,r_v)$ (which has gained interest recently) and $RX_Π(G) = \prod_{uv \in E(G)} F(r_u,r_v)$ (that we introduce in this work); where $uv$ denotes the edge of $G$ connecting the vertices $u$ and $v$, $r_u$ is the Revan degree of the vertex $u$, and $F$ is a function of the Revan vertex degrees. Here, $r_u = Δ+ δ- d_u$ with $Δ$ and $δ$ the maximum and minimum degrees among the vertices of $G$ and $d_u$ is the degree of the vertex $u$. Particularly, we apply both $RX_Σ(G)$ and R$X_Π(G)$ on two models of random graphs: Erdös-Rényi graphs and random geometric graphs. By a thorough computational study we show that $\left< RX_Σ(G) ight>$ and $\left< \ln RX_Π(G) ight>$, normalized to the order of the graph, scale with the average Revan degree $\left< r ight>$; here $\left< \cdot ight>$ denotes the average over an ensemble of random graphs. Moreover, we provide analytical expressions for several graph invariants of both families in the dense graph limit.

研究动机与目标

• 激励对随机图系综中基于Revan度的拓扑指数（TIs）和乘法拓扑指数（MTIs）的研究。
• 解决对Revan度指数（尤其是其乘法形式）缺乏系统性统计分析的问题。
• 建立 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ 随平均Revan度 $\langle r\rangle$ 的缩放规律。
• 在稠密图极限下提供这些指数的解析表达式。
• 突出Revan度指数在与标准度基指数不同的情形下所具有的实用性。

提出的方法

• 定义Revan顶点度为 $r_u = \Delta + \delta - d_u$，其中 $\Delta$ 和 $\delta$ 分别为图中的最大度与最小度。
• 引入两类新的图不变量：$RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G) = \sum_{uv \in E(G)} F(r_u, r_v)$ 与 $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G) = \prod_{uv \in E(G)} F(r_u, r_v)$，其中 $F$ 是Revan度的对称函数。
• 将这些指数应用于两种随机图模型：Erdős-Rényi（ER）图 $G_{\rm \textstyle ER}(n,p)$ 与随机几何（RG）图 $G_{\rm \textstyle RG}(n,\ell)$。
• 在固定参数的大规模图系综上，计算 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ 的系综平均值。
• 使用数值模拟探索归一化指数 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ 随 $\langle r\rangle$ 变化的缩放行为。
• 在稠密图极限（$\langle r\rangle \geq 10$）下，通过渐近分析推导出 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ 的解析表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机图中，基于Revan度的拓扑指数 $RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)$ 如何随平均Revan度 $\langle r\rangle$ 缩放？
• RQ2 新引入的基于Revan度的乘法拓扑指数 $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)$ 在随机图上的统计行为如何？
• RQ3 归一化的 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ 是否在不同随机图模型中均表现出与 $\langle r\rangle$ 的普适缩放关系？
• RQ4 在稠密图极限下，哪些解析表达式可描述 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$？
• RQ5 是否存在Revan度基指数与标准度基指数提供不同信息的区间？

主要发现

• 归一化平均值 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 随平均Revan度 $\langle r\rangle$ 缩放，遵循普适函数关系 $g_{\Sigma}(\langle r\rangle)$，如图3与图6所示。
• 归一化平均值 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ 同样随 $\langle r\rangle$ 以 $g_{\Pi}(\langle r\rangle)$ 缩放，在稠密极限下（$\langle r\rangle \geq 10$）数值数据与解析预测高度一致，如图9与图10所示。
• 在稠密图极限下，$\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 与 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$ 的解析表达式分别由公式 (8)–(11) 与 (17)–(20) 给出。
• 在稠密图极限下，$\langle r(G)\rangle \approx \langle d(G)\rangle$ 且 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle \approx \langle X_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$，意味着Revan度指数的缩放规律复现了标准度基指数的规律。
• 当 $\langle r\rangle < 10$ 时，Revan度指数与度基指数之间出现显著差异，表明Revan度指数在稀疏或中等密度图中可提供互补信息。
• 本研究引入并分析了两个新指数：乘法遗忘指数 $F_{\Pi}(G)$ 与乘法Sombor指数 $SO_{\Pi}(G)$，扩展了基于Revan度的MTI家族。