[论文解读] Reverse test and quantum analogue of classical fidelity and generalized fidelity

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过反向测试框架引入了经典保真度与广义保真度的量子对应物，定义了 $F_{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho\sqrt{\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2}}$ 和 $F_f^{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho f(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})$。这些量在量子操作下表现出单调递增性，是最小的满足该性质的泛函，并具有强联合凹性，为量子统计距离提供了紧致界。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to give axiomatic characterization of quantum relative entropy utilizing resource conversion scenario. We consider two sets of axioms: non-asymptotic and asymptotic. In the former setting, we prove that the upperbound and the lowerbund of D^{Q}(ρ||σ) is D^{R}(ρ||σ):=trρlnσ^{1/2}ρ^{-1}σ^{1/2} and D(ρ||σ):= trρ(lnρ-lnσ), respectively. In the latter setting, we prove uniqueness of quantum relative entropy, that is, D^{Q}(ρ||σ) should equal a constant multiple of D(ρ||σ). In the analysis, we define and use reverse test and asymptotic reverse test, which are natural inverse of hypothesis test.

研究动机与目标

• 通过反向测试框架定义经典保真度与广义保真度的量子对应物。
• 表征在完全正迹保测映射下最小的单调量子保真度泛函。
• 建立所提出的量子保真度泛函的强联合凹性与单调性性质。
• 利用 $F_{\min}(\rho,\sigma)$ 推导量子统计距离 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma)$ 的界。
• 阐明 $F_{\min}$ 在 RLD Fisher 信息度量下的几何与信息理论角色。

提出的方法

• 将反向测试定义为从经典概率对 $\{p,q\}$ 到量子态 $\{\rho,\sigma\}$ 的 CPTP 映射，实现从经典测量对量子态的逆向重构。
• 将 $F_{\min}(\rho,\sigma)$ 定义为所有 $\{\rho,\sigma\}$ 的反向测试中经典保真度 $F(p,q)$ 的最小值，证明其等于 $\mathrm{tr}\,\rho\sqrt{\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2}}$。
• 将构造推广至任意算子单调函数 $f$ 的 $F_f^{\min}(\rho,\sigma)$，得到 $\mathrm{tr}\,\rho f(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})$。
• 利用反向测试结构与相对熵对偶性，证明 $F_{\min}$ 与 $F_f^{\min}$ 在 TPCP 映射下的单调性。
• 通过变分表征与反向测试优化，建立 $F_f^{\min}$ 的强联合凹性。
• 将 $F_{\min}$ 与 RLD Fisher 信息度量 $J^R$ 关联，表明其为沿特定测地线积分 $J^R$ 的结果，尽管 $\cos^{-1}F_{\min}$ 并不等于测地线长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 TPCP 映射下，最小的单调量子保真度泛函是什么？它与经典保真度有何关系？
• RQ2 如何通过反向测试将广义保真度 $F_f(p,q)$ 扩展至量子态？由此得到的 $F_f^{\min}$ 满足哪些性质？
• RQ3 $F_{\min}$ 是否为量子统计距离 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma)$ 提供紧致界？与经典界相比如何？
• RQ4 在 RLD Fisher 信息度量下，$F_{\min}$ 的几何解释是什么？为何 $\cos^{-1}F_{\min}$ 不等于测地线长度？
• RQ5 $F_R(\rho,\sigma)$（定义为 RLD 积分的余弦值）是否为联合凸或凹？能否显式计算？

主要发现

• 量 $F_{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho\sqrt{\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2}}$ 是在 TPCP 映射下最小的单调量子保真度泛函。
• 广义量子保真度 $F_f^{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho f(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})$ 对任意算子单调函数 $f$ 均为单调递增，且在所有此类泛函中最小。
• $F_{\min}$ 与 $F_f^{\min}$ 均具有强联合凹性，该性质通过反向测试优化与对偶性得以证明。
• $F_{\min}$ 为量子统计距离 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma)$ 提供了界，满足 $1 - F_{\min}(\rho,\sigma) \leq \Delta_{\max}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - F_{\min}(\rho,\sigma)^2}$。
• 尽管 $F_{\min}$ 对应于沿特定曲线积分 $J^R$ 的结果，但 $\cos^{-1}F_{\min}(\rho,\sigma)$ 并不等于测地线长度，这与 SLD 情况不同。
• 对于纯态 $\sigma = |\varphi\rangle\langle\varphi|$，有 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma) = 1 - F(\rho,\sigma)^2 = 1 - F_{\min}(\rho,\sigma)^2$，从而给出了显式公式。