[论文解读] Reversed Dickson polynomials of the fourth kind over finite fields

Kaimin Cheng, Shaofang Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了有限域 $ \bbF_q $ 上第四类反向 Dickson 多项式 $ D_{n,3}(1,x) $ 的置换行为。通过生成函数与系数分析，推导出第一 moment $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ 的显式公式，为特征值 $ p > 3 $ 下置换多项式性质的研究提供了关键计算工具。

ABSTRACT

In this paper, we obtain several results on the permutational behavior of the reversed Dickson polynomial $D_{n,3}(1,x)$ of the fourth kind over the finite field ${\mathbb F}_{q}$. Particularly, we present the explicit evaluation of the first moment $\sum_{a\in {\mathbb F}_{q}}D_{n,3}(1,a)$.

研究动机与目标

• 研究有限域 $ \bbF_q $ 上第四类反向 Dickson 多项式 $ D_{n,3}(1,x) $ 的置换行为。
• 推导第一 moment $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ 的显式公式，该公式是置换多项式判别准则中的关键不变量。
• 通过辅助多项式与生成函数，建立 $ D_{n,3}(1,x) $ 作为置换多项式的刻画。
• 通过显式计算第一 moment，将 Hermite 判别准则框架扩展至这一新的反向 Dickson 多项式类别。

提出的方法

• 通过公式 $ D_{n,3}(a,x) = \textstyle\bigsum_{i=0}^{\fl{n/2}} \frac{n-3i}{n-i} \binom{n-i}{i} (-x)^i a^{n-2i} $ 定义第四类反向 Dickson 多项式（$ n \to 1 $），并规定 $ D_{0,3}(a,x) = -1 $。
• 利用恒等式 $ D_{n,3}(a,x) = \frac{(2a-y)y^n - (y+a)(a-y)^n}{2y-a} $，其中 $ x = y(a-y) $，将多项式表示为关于 $ y $ 的有理函数形式。
• 构造生成函数 $ G(t) = \textstyle\bigsum_{n=1}^{q^2-1} \big( a_n - \frac{3n-1}{2^n} \big) t^n $，其中 $ a_n = \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $，以分析第一 moment。
• 推导出一个涉及 $ t^{q^2-1} $、$ t^q $ 和二项式系数的有理函数 $ h(t) $，以建模生成函数的结构。
• 对 $ (t - t^q)^{q-1} $ 应用二项式定理，计算多项式 $ \textstyle\bigsum_{i=0}^{q^2-q} b_i t^i = -1 - (t - t^q)^{q-1} $ 的系数 $ b_i $。
• 通过方程 $ (t^q - t^{q-1} - 1) \textstyle\bigsum_{n=1}^{q^2-1} d_n t^n = \text{RHS} $ 中的系数比较，其中 $ d_n = a_n - \frac{3n-1}{2^n} $，递归计算 $ a_n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 第四类反向 Dickson 多项式的第一 moment $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ 的显式值是什么？
• RQ2 在何种条件下 $ D_{n,3}(1,x) $ 是 $ \bbF_q $ 上的置换多项式，其代数刻画为何？
• RQ3 当直接计算不可行时，生成函数方法如何实现第一 moment 的计算？
• RQ4 有理函数展开中的系数 $ c_i $ 在重构 moment 和的计算中起什么作用？
• RQ5 由 $ c_i $ 和 $ d_n $ 推导出的递推关系是否能完整捕捉 moment 和的递归结构？

主要发现

• 第一 moment $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $ 显式计算为 $ -c_j + \frac{3j-1}{2^j} $，其中 $ 1 \leq j \leq q-1 $，且 $ c_j $ 为有理函数展开中 $ t^j $ 的系数。
• 当 $ n = q $ 时，moment 为 $ c_1 - c_q - \frac{1}{2} $，表明由于域特征的影响，其行为偏离了简单的 $ \frac{3n-1}{2^n} $ 模式。
• 当 $ n = \text{multiple of } q $ 时，moment 满足递推关系：$ \textstyle\bigsum D_{\nu q,3}(1,a) = \textstyle\bigsum D_{(\nu-1)q,3}(1,a) - \textstyle\bigsum D_{(\nu-1)q+1,3}(1,a) - c_{\nu q} + \frac{3}{2^\nu} $，对 $ 2 \leq \nu \leq q-2 $ 成立。
• 当 $ n = q^2 - q + j $ 且 $ 0 \leq j \leq q-1 $ 时，moment 为 $ \textstyle\bigsum_{i=j}^{q-1} c_{q^2+i} + \frac{3j-1}{2^j} $，表明在域大小附近行为发生偏移。
• $ -1 - (t - t^q)^{q-1} $ 展开中系数 $ b_i $ 显式表示为：若 $ \beta + \beta = q-1 $，则 $ (-1)^{\beta+1} \binom{q-1}{\beta} $；若 $ \beta = \beta = 0 $，则为 $ -1 $；否则为 0。
• 通过涉及 $ c_i $、$ d_n $ 和 $ a_n = d_n + \frac{3n-1}{2^n} $ 的递推关系，完整重构了全 moment 和 $ \textstyle\bigsum_{a \in \bbF_q} D_{n,3}(1,a) $，提供了完整的算法化计算方法。