[论文解读] Reversibility and further properties of FCFS infinite bipartite matching

Ivo Adan, Ana Bušić+2 more|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Jul 21, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文在 FCFS 无限二分匹配模型中建立了动态可逆性，证明了在时间反转序列中交换匹配对后，保持 i.i.d. 分布与 FCFS 匹配。提出了一种针对双向无限序列的路径式 Loynes 类构造方法，并推导出多个马尔可夫链的乘积形式平稳分布，从而可精确计算匹配项之间链长等性能度量。

ABSTRACT

The model of FCFS infinite bipartite matching was introduced in caldentey-kaplan-weiss 2009. In this model there is a sequence of items that are chosen i.i.d. from $\mathcal{C}=\{c_1,\ldots,c_I\}$ and an independent sequence of items that are chosen i.i.d. from $\mathcal{S}=\{s_1,\ldots,s_J\}$, and a bipartite compatibility graph $G$ between $\mathcal{C}$ and $\mathcal{S}$. Items of the two sequences are matched according to the compatibility graph, and the matching is FCFS, each item in the one sequence is matched to the earliest compatible unmatched item in the other sequence. In adan-weiss 2011 a Markov chain associated with the matching was analyzed, a condition for stability was verified, a product form stationary distribution was derived and the rates $r_{c_i,s_j}$ of matches between compatible types $c_i$ and $s_j$ were calculated. In the current paper, we present several new results that unveil the fundamental structure of the model. First, we provide a pathwise Loynes' type construction which enables to prove the existence of a unique matching for the model defined over all the integers. Second, we prove that the model is dynamically reversible: we define an exchange transformation in which we interchange the positions of each matched pair, and show that the items in the resulting permuted sequences are again independent and i.i.d., and the matching between them is FCFS in reversed time. Third, we obtain product form stationary distributions of several new Markov chains associated with the model. As a by product, we compute useful performance measures, for instance the link lengths between matched items.

研究动机与目标

• 在整数时间轴 T = ℤ 上，建立无限二分匹配模型中唯一 FCFS 匹配的存在性。
• 证明在交换匹配对的变换下，FCFS 匹配过程具有动态可逆性。
• 推导与匹配过程相关的多个马尔可夫链的乘积形式平稳分布。
• 利用推导出的平稳分布，精确计算性能度量，如匹配项之间的链长分布。

提出的方法

• 开发了一种路径式 Loynes 类构造方法，通过从两端向中心构建匹配，唯一地定义 T = ℤ 上的 FCFS 匹配。
• 定义了一种交换变换，将时间反转后匹配对 (c^m, s^n) 互换为 (s^n, c^m)，同时保持序列的 i.i.d. 性质。
• 通过证明反转过程仍保持 FCFS 匹配且序列保持 i.i.d. 并具有相同的边缘分布，从而证明动态可逆性。
• 利用平衡方程与细致平衡条件，推导出与未匹配项状态相关的多个马尔可夫链的乘积形式平稳分布。
• 该方法利用相容图结构与 FCFS 匹配规则，刻画了未匹配项与匹配对的联合分布。
• 通过分析反转过程中匹配项之间的间距，作为副产品计算出链长分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间是双向的（T = ℤ）时，无限二分匹配模型是否存在唯一的 FCFS 匹配？
• RQ2 在时间反转中交换匹配对后，FCFS 匹配过程是否仍具有动态可逆性？
• RQ3 能否为追踪未匹配项的马尔可夫链推导出乘积形式的平稳分布？
• RQ4 系统中匹配客户与服务器对之间的距离（链长）的确切分布是什么？
• RQ5 在交换变换下，反转过程的平稳分布与正向过程的平稳分布有何关系？

主要发现

• 通过一种从两端向中心构建的路径式 Loynes 类构造方法，证明了在 T = ℤ 上，无限二分匹配模型存在唯一的 FCFS 匹配。
• 该模型具有动态可逆性：在交换匹配对并反转时间后，生成的序列仍为 i.i.d. 且具有相同的边缘分布，同时匹配过程仍保持 FCFS。
• 推导出与未匹配项过程相关的多个马尔可夫链的乘积形式平稳分布，从而可实现对系统行为的精确分析。
• 匹配项之间的链长（定义为匹配客户与服务器之间的时间差）具有显式分布，可由平稳测度精确计算。
• 反转过程相对于平稳测度满足细致平衡，从而确认了系统的动态可逆性。
• 利用推导出的乘积形式解，精确计算出性能度量，如未匹配项的期望数量与匹配延迟的分布。