[论文解读] Reversible Cellular Automata as Integrable Interactions Round-a-Face: Deterministic, Stochastic, and Quantized

Tomaž Prosen|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2021

Quantum many-body systems参考文献 35被引用 11

一句话总结

本论文证明了可逆细胞自动机（RCA）规则54和201，及其随机与量子形变，可通过星-三角关系的非均匀解，在相互作用周围面（IRF）框架下实现可积性。该研究构建了一个包含守恒且相互对易算符的转移矩阵，并通过谱统计特性验证了可积性，结果表明尽管规则54的形变模型具有完全可积性，但其仅存在单一局部守恒量——孤立子流。

ABSTRACT

A family of reversible deterministic cellular automata, including the rules 54 and 201 of [Bobenko et al., Commun. Math. Phys. 158, 127 (1993)] as well as their kinetically constrained quantum (unitary) or stochastic deformations, is shown to correspond to integrable Floquet circuit models with local interactions round-a-face. Using inhomogeneous solutions of the star-triangle relation with a one or two dimensional spectral parameter, changing their functional form depending on the orientation, we provide an explicit construction of the transfer matrix and establish its conservation law and involutivity properties. Integrability is independently demonstrated by numerically exploring the spectral statistics via the Berry-Tabor conjecture. Curiously, we find that the deformed rule 54 model generically possesses no other local conserved quantities besides the net soliton current.

研究动机与目标

• 建立可逆细胞自动机（RCA）与可积模型之间通过相互作用周围面（IRF）框架的联系。
• 证明确定性RCA规则54和201，及其随机与量子形变，可通过星-三角方程的非均匀解实现可积性。
• 为这些模型构造一个生成大量守恒且相互对易算符的转移矩阵。
• 研究守恒量的性质，特别是形变规则54模型中的守恒量，并通过谱统计特性检验可积性。

提出的方法

• 通过局部IRF相互作用，将RCA规则54和201嵌入到一个四参数的运动约束量子（Floquet）与随机（马尔可夫）电路族中。
• 利用随方向变化的谱参数的星-三角关系非均匀解，构造转移矩阵。
• 将转移矩阵定义为面权重 $ (f_{kl})_i^j $ 的乘积，其作用于三站点量子比特配置，并依赖于四个 $ 2\times2 $ 矩阵 $ \{f_{kl}\} $。
• 证明转移矩阵算符的守恒性与对合性，通过代数方法确立可积性。
• 通过Berry-Tabor猜想对谱统计进行数值分析，包括累积水平间距分布与复数间距比。
• 将Floquet演化算符投影到固定准动量与孤立子流子空间，以分析本征相位统计特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可逆细胞自动机如规则54和201能否被嵌入到具有局部相互作用的可积IRF框架中？
• RQ2 RCA规则54和201的运动约束量子与随机形变是否能通过星-三角关系保持可积性？
• RQ3 形变规则54模型中守恒量的结构是怎样的？为何其仅存在孤立子流作为局部守恒量？
• RQ4 形变模型的谱统计特性与泊松分布及随机矩阵系综相比如何？这对其可积性有何启示？
• RQ5 转移矩阵形式能否用于构造这些模型中时间依赖可观测量的精确解？

主要发现

• 尽管具有完全可积性，形变规则54模型通常仅存在净孤立子流作为局部守恒量。
• 形变规则54模型的谱统计特性与泊松过程一致，支持其通过Berry-Tabor猜想实现可积性。
• 形变规则201模型在其谱中表现出宏观简并性（$ I_0 = 0.593 $），暗示存在隐藏的非阿贝尔量子对称性。
• 形变规则150模型表现出类似Wigner-Dyson的谱统计特性，表明存在量子混沌，与规则54和201的可积行为形成对比。
• 复数形变使模型的谱统计特性与 $ \mathrm{AI}^\dagger $ 随机矩阵系综匹配，证实了其可积性或混沌性，具体取决于模型。
• 通过非均匀星-三角关系解构造的转移矩阵，即使在形变规则54情况下明显非局域，仍能生成大量守恒且相互对易的算符。