[论文解读] Reversible Logic Synthesis with Minimal Usage of Ancilla Bits

Siyao Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文提出了一种使用单一基门（即Toffoli门的变体或Fredkin门）的可逆逻辑综合框架，且仅使用最少的辅助位。证明了变体Toffoli门可仅用一个辅助位合成所有n位可逆门，且无需辅助位即可合成所有偶排列；而Fredkin门则可仅用一个辅助位生成所有保守可逆门，实现了辅助位使用的最优性。

ABSTRACT

Reversible logic has attracted much research interest over the last few decades, especially due to its application in quantum computing. In the construction of reversible gates from basic gates, ancilla bits are commonly used to remove restrictions on the type of gates that a certain set of basic gates generates. With unlimited ancilla bits, many gates (such as Toffoli and Fredkin) become universal reversible gates. However, ancilla bits can be expensive to implement, thus making the problem of minimizing necessary ancilla bits a practical topic. This thesis explores the problem of reversible logic synthesis using a single base gate and a few ancilla bits. Two base gates are discussed: a variation of the 3-bit Toffoli gate and the original 3-bit Fredkin gate. There are three main results associated with these two gates: i) the variated Toffoli gate can generate all n-bit reversible gates using 1 ancilla bit, ii) the variated Toffoli can generate all n-bit reversible gates that are even permutations using no ancilla bit, iii) the Fredkin gate can generate all n-bit conservative reversible gates using 1 ancilla bit. Prior to this paper, the best known result for general universality requires three basic gates, and the best known result for conservative universality needs 5 ancilla bits. The second result is trivially optimal. For the first and the third result, we explicitly prove their optimality: the variated Toffoli cannot generate all n-bit reversible gates without using any extra input lines, and the Fredkin gate cannot generate all n-bit conservative reversible gates without using extra input lines. We also explore a stronger version of the second converse by introducing a new concept called borrowed bits, and prove that the Fredkin gate cannot generate all n-bit conservative reversible gates without ancilla bits, even with an unlimited number of borrowed bits.

研究动机与目标

• 最小化可逆逻辑综合中的辅助位数量，这是量子计算与低功耗计算中的关键挑战。
• 建立可逆门通用生成的辅助位使用量的理论下界。
• 证明使用单一基门（变体Toffoli门或Fredkin门）且仅附加最少线路的构造具有最优性。
• 探讨借用位作为可逆电路设计中替代辅助位的更低成本方案的作用。
• 解决关于是否可在无辅助位的情况下实现通用可逆综合的开放问题。

提出的方法

• 提出一种3位Toffoli门的变体，使仅使用一个辅助位即可实现通用可逆门综合。
• 利用置换群理论分析门的通用性，重点研究可逆函数的奇偶性与循环分解。
• 通过变体Toffoli门与一个借用位，递归构造Cn NOT门，从C(i) NOT门出发。
• 提出两种C(i) SWAP门的构造方法：一种使用辅助位，另一种使用借用位对，均实现资源使用最小化。
• 通过反证法证明辅助位的必要性，表明即使拥有无限多的借用位，无辅助位时通用综合仍会失败。
• 应用分解技术，将任意置换表示为基本操作（t1：交换0和1，t2：左移所有位）的序列，以分析门复杂度与奇偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用一个辅助位，通过单一变体Toffoli门生成所有n位可逆门？
• RQ2 是否可能在不使用任何辅助位的情况下生成所有偶n位排列？
• RQ3 Fredkin门能否仅用一个辅助位生成所有n位保守可逆门？
• RQ4 即使允许使用无限多的借用位，使用Fredkin门进行通用可逆综合是否仍至少需要一个辅助位？
• RQ5 使用单一基门实现通用可逆综合所需的最少辅助位数量是多少？

主要发现

• 变体Toffoli门可仅使用一个辅助位生成所有n位可逆门，且此结果最优，因为无辅助位时无法实现此类综合。
• 同一变体Toffoli门可无需任何辅助位生成所有偶n位排列，且此结果可被严格证明为最优。
• Fredkin门可仅使用一个辅助位生成所有n位保守可逆门，且该构造为最优。
• 即使可使用无限多的借用位，Fredkin门也无法在无辅助位的情况下生成所有保守可逆门。
• 本文证明，任何常数大小的可逆门若无额外输入线，则无法实现通用性，从而确立了辅助位使用量的根本下界。
• 使用一个借用位通过变体Toffoli门构造Cn NOT门的复杂度呈指数级增长，暗示了辅助位最小化与门数之间可能存在权衡。