[论文解读] Reversing unknown quantum transformations: A universal protocol for inverting general unitary operations

Marco Túlio Quintino, Qingxiuxiong Dong+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种通用的、概率性的量子协议，通过使用 $k$ 次对任意未知的 $d$-维幺正操作 $U_d$ 进行逆操作，实现精确的逆操作 $U_d^{-1}$，且失败概率呈指数衰减。该方法采用自适应策略，并证明即使在非定 causal 顺序下，$k \geq d-1$ 也是实现精确逆操作的必要条件；同时通过半定规划证明，非定因果顺序的线路可提供量子优势。

ABSTRACT

Given a quantum gate implementing a $d$-dimensional unitary operation $U_d$, without any specific description but $d$, and permitted to use $k$ times, we present a universal probabilistic heralded quantum circuit that implements the exact inverse $U_d^{-1}$, whose failure probability decays, exponentially in $k$. The protocol employs an adaptive strategy, proven necessary for the exponential performance. It requires $k\geq d-1$, proven necessary for exact implementation of $U_d^{-1}$ with quantum circuits. Moreover, even when quantum circuits with indefinite causal order are allowed, $k\geq d-1$ uses are required. We then present a finite set of linear and positive semidefinite constraints characterizing universal unitary inversion protocols and formulate a convex optimization problem whose solution is the maximum success probability for given $k$ and $d$. The optimal values are computed using semidefinite programming solvers for $k\leq 3$ when $d=2$ and $k\leq 2$ for $d=3$. With this numerical approach we show for the first time that indefinite causal order circuits provide an advantage over causally ordered ones in a task involving multiple uses of the same unitary operation.

研究动机与目标

• 开发一种通用的、概率性的量子电路，以在不预先了解其结构的情况下，对任意未知的 $d$-维幺正操作 $U_d$ 实现逆操作。
• 确定使用量子电路精确实现 $U_d^{-1}$ 所需的最少使用次数 $k$。
• 探究在幺正操作逆操作任务中，非定因果顺序线路是否能优于定因果顺序线路。
• 制定并求解一个凸优化问题，以计算给定 $k$ 和 $d$ 下的最大成功概率。

提出的方法

• 该协议采用自适应策略，通过迭代优化逆操作过程，已被证明是实现失败概率指数衰减的必要条件。
• 构建了一种受控的量子线路，可概率性地成功实现 $U_d^{-1}$，成功由经典信号指示。
• 该协议具有通用性，仅需知道 $U_d$ 的维度 $d$，无需其他先验信息，适用于任意幺正操作。
• 作者推导出一组有限的线性约束和半正定约束，用于表征所有可能的通用幺正操作逆操作协议。
• 基于这些约束，构建了一个凸优化问题，可通过半定规划求解，以计算给定 $k$ 和 $d$ 下的最大成功概率。
• 该方法在 $d=2$ 时对 $k \leq 3$，在 $d=3$ 时对 $k \leq 2$ 进行了数值评估，得到了最优的成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用量子电路对任意未知的 $d$-维幺正操作 $U_d$ 实现精确逆操作，所需的最少使用次数 $k$ 是多少？
• RQ2 在未知幺正操作的逆操作任务中，非定因果顺序线路是否能提供性能优势？
• RQ3 使用 $k$ 次使用，对 $U_d$ 实现逆操作的最大成功概率是多少？其随 $k$ 和 $d$ 如何变化？
• RQ4 在幺正操作逆操作中，为实现失败概率的指数衰减，自适应策略是否为必要条件？
• RQ5 通用幺正操作逆操作问题是否能通过凸优化框架实现完全表征？

主要发现

• 该协议实现了对任意未知 $U_d$ 的精确逆操作，且失败概率随使用次数 $k$ 呈指数衰减。
• 证明了即使在允许非定因果顺序的情况下，使用量子电路实现精确逆操作的必要条件为 $k \geq d-1$。
• 对于 $d=2$，通过半定规划对 $k \leq 3$ 的情况进行了数值计算，得到最优成功概率，显示出随 $k$ 增加的指数级提升。
• 对于 $d=3$，对 $k \leq 2$ 的情况计算了最优成功概率，进一步验证了 $k \geq d-1$ 的必要性。
• 数值结果表明，非定因果顺序线路在幺正操作逆操作任务中优于定因果顺序线路，提供了此类优势的首个明确证据。
• 凸优化框架完全表征了所有通用幺正操作逆操作协议，并可精确计算最大成功概率。