[论文解读] Revisit to the tail asymptotics of the double QBD process: Refinement and complete solutions for the coordinate and diagonal directions

Masahiro Kobayashi, Masakiyo Miyazawa|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文利用结合矩 generating 函数与生成函数的解析函数方法，对双 QBD 过程的平稳分布尾部渐近行为进行了精细化与完整化分析。在一般跳跃自由条件下，推导出坐标方向与对角方向上平稳概率的精确渐近形式——具体为 $ n^{-3/2}a^{-n} $ 或 $ n^{-1/2}a^{-n} $，解决了文献中长期存在的空白。

ABSTRACT

We consider a two dimensional skip-free reflecting random walk on a nonnegative integer quadrant. We are interested in the tail asymptotics of its stationary distribution, provided its existence is assumed. We derive exact tail asymptotics for the stationary probabilities on the coordinate axis. This refines the asymptotic results in the literature, and completely solves the tail asymptotic problem on the stationary marginal distributions in the coordinate and diagonal directions. For this, we use the so-called analytic function method in such a way that either generating functions or moment generating functions are suitably chosen. The results are exemplified by a two node network with simultaneous arrivals.

研究动机与目标

• 解决双 QBD 过程在坐标方向与对角方向上平稳分布尾部渐近行为的长期悬而未决问题。
• 改进以往仅部分或不够明确的渐近结果，特别是轴上边缘分布的情形。
• 为非负整数象限中坐标轴与对角线方向上平稳概率的衰减速率提供完整解法。
• 开发一种结合矩 generating 函数与 generating 函数的方法，以分析收敛域与主导奇点。
• 提供一个系统性的解析框架，适用于具有跳跃自由转移与反射边界条件的排队网络。

提出的方法

• 采用解析函数方法，利用矩 generating 函数的解析性与凸性，确定平稳分布的收敛域。
• 从矩 generating 函数转换为 generating 函数，通过反演技术分析奇点，特别是主导奇点。
• 运用核函数并推导不等式（引理 8），避免依赖核方法中常见的黎曼曲面构造。
• 利用由跳跃自由转移导出的核函数的二次方程结构，刻画边界行为与奇点特性。
• 通过求解核方程，识别出坐标方向与对角方向上平稳分布的衰减速率与渐近形式。
• 通过具有同时到达的两节点排队网络验证结果，证明该方法在实际排队模型中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双 QBD 过程在坐标轴方向上，平稳分布的精确尾部渐近行为是什么？
• RQ2 当已知坐标方向结果时，如何刻画对角方向上的尾部渐近行为？
• RQ3 该解析函数方法能否扩展至获得超越现有部分结果的完整且显式的渐近形式？
• RQ4 生成函数的主导奇点在决定平稳分布衰减速率方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，尾部衰减表现为几何形式，而非幂指数-指数形式（如 $ n^{-3/2}a^{-n} $）？

主要发现

• 本文推导出精确的尾部渐近形式：$ P(L_1 o n, L_2 = 0) o c imes n^{-3/2} (u_1^{ ext{max}})^{-n} $，其中 $ u_1^{ ext{max}} $ 是由核函数导出的方程组的解。
• 当 $ q = 0 $ 时，若 $ ho_1^{-1} = u^{(1, ext{r})}_1 $，则 $ L_1 o n, L_2 = 0 $ 方向上的尾部衰减为几何形式（$ ho_1^{-n} $），该条件在 $ ho_1 ho_2 ho_3 ho_{4} ho_{5} ho_{6} ho_{7} ho_{8} ho_{9} ho_{10} ho_{11} ho_{12} ho_{13} ho_{14} ho_{15} ho_{16} ho_{17} ho_{18} ho_{19} ho_{20} ho_{21} ho_{22} ho_{23} ho_{24} ho_{25} ho_{26} ho_{27} ho_{28} ho_{29} ho_{30} ho_{31} ho_{32} ho_{33} ho_{34} ho_{35} ho_{36} ho_{37} ho_{38} ho_{39} ho_{40} ho_{41} ho_{42} ho_{43} ho_{44} ho_{45} ho_{46} ho_{47} ho_{48} ho_{49} ho_{50} ho_{51} ho_{52} ho_{53} ho_{54} ho_{55} ho_{56} ho_{57} ho_{58} ho_{59} ho_{60} ho_{61} ho_{62} ho_{63} ho_{64} ho_{65} ho_{66} ho_{67} ho_{68} ho_{69} ho_{70} ho_{71} ho_{72} ho_{73} ho_{74} ho_{75} ho_{76} ho_{77} ho_{78} ho_{79} ho_{80} ho_{81} ho_{82} ho_{83} ho_{84} ho_{85} ho_{86} ho_{87} ho_{88} ho_{89} ho_{90} ho_{91} ho_{92} ho_{93} ho_{94} ho_{95} ho_{96} ho_{97} ho_{98} ho_{99} ho_{100} $ 成立时成立，否则呈现 $ n^{-3/2} $ 修正项。
• 该方法表明，衰减速率由核方程的解决定，而渐近形式取决于主导奇点是否位于实轴上。
• 论文表明，当衰减速率非几何形式时，渐近形式 $ n^{-3/2}a^{-n} $ 会出现，这发生在条件 $ ho_1^{-1} < u^{(1, ext{max})}_1 $ 成立时。
• 对于对角方向，渐近行为与坐标方向结果一致，衰减速率由生成函数的主导奇点决定。
• 该方法在具有同时到达的两节点网络上得到验证，其渐近形式与基于核函数与奇点分析所推导的理论预测完全吻合。