[论文解读] Revisiting $k$-tuple dominating sets with emphasis on small values of $k$

Babak Samadi, Nasrin Soltankhah+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2021

Digital Image Processing Techniques参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文重新探討 k-元支配集，專注於小的 k 值，特別是 k=2。提出雙重 Slater 數 sℓ×2(G) 作為雙重支配數 γ×2(G) 的下界，證明即使在四部圖中，該等式判定問題仍為 NP-完全問題，並透過構造性特徵化，完整描述了完全圖——從而解決了 Cockayne 和 Hedetniemi（1977）提出的開放問題——顯示圖為完全圖當且僅當其屬於新定義的 r-部圖家族 Θ，該家族具有特定的邊與頂點結構。

ABSTRACT

For any graph $G$ of order $n$ with degree sequence $d_{1}\geq\cdots\geq d_{n}$, we define the double Slater number $s\ell_{ imes2}(G)$ as the smallest integer $t$ such that $t+d_{1}+\cdots+d_{t-e}\geq2n-p$ in which $e$ and $p$ are the number of end-vertices and penultimate vertices of $G$, respectively. We show that $\gamma_{ imes2}(G)\geq s\ell_{ imes2}(G)$, where $\gamma_{ imes2}(G)$ is the well-known double domination number of a graph $G$ with no isolated vertices. We prove that the problem of deciding whether the equality holds for a given graph is NP-complete even when restricted to $4$-partite graphs. We also prove that the problem of computing $\gamma_{ imes2}(G)$ in NP-hard even for comparability graphs of diameter two. Some results concerning these two parameters are given in this paper improving and generalizing some earlier results on double domination in graphs. We give an upper bound on the $k$-tuple domatic number of graphs with characterization of all graphs attaining the bound. Finally, we characterize the family of all full graphs, leading to a solution to an open problem given in a paper by Cockayne and Hedetniemi ($1977$).

研究动机与目标

• 建立雙重 Slater 數 sℓ×2(G) 為無孤立頂點圖中雙重支配數 γ×2(G) 的下界。
• 證明判斷 sℓ×2(G) = γ×2(G) 的問題即使限制於四部圖亦為 NP-完全問題。
• 特徵化所有完全圖——即滿足 d(G) = δ(G) + 1 的圖——從而解決 Cockayne 和 Hedetniemi（1977）提出的開放問題。
• 提供 k-元支配數 d×k(G) 的上界，並特徵化所有達成該上界的圖。
• 證明在直徑為二的可比圖中，計算 γ×k(G) 為 NP-難問題，即使對於 k ≥ 2 亦成立。

提出的方法

• 定義雙重 Slater 數 sℓ×2(G) 為最小的 t，使得 t + d1 + ... + dt − e ≥ 2n − p，其中 e 和 p 分別為末端與倒數第二個頂點。
• 利用 γ×2(G)-集合上的度數總和與鄰域計數論證，證明 sℓ×2(G) ≤ γ×2(G)。
• 透過將等式判定問題歸約至 3-Partition，證明其 NP-完全性。
• 利用不等式 d×k ≤ (1 + √(1 + 4(2m − (k−1)n)/(kγ×k)))/2，推導出 d×k(G) 的上界，且等式成立當且僅當 G 属於特定家族 Ψ 的正則圖。
• 構造一族具有特定邊與頂點結構的 r-部圖 Θ，以特徵化完全圖。
• 運用結構圖分析與不等式中等式成立的條件，證明 G 為完全圖當且僅當 G ∈ Θ。

实验结果

研究问题

• RQ1 雙重 Slater 數 sℓ×2(G) 是否在所有無孤立頂點的圖中恆為雙重支配數 γ×2(G) 的下界？
• RQ2 判斷給定圖是否滿足 sℓ×2(G) = γ×2(G) 的問題是否為 NP-完全問題？
• RQ3 是否能完全特徵化完全圖家族（即滿足 d(G) = δ(G) + 1 的圖）？
• RQ4 k-元支配數 d×k(G) 的最緊密上界為何？哪些圖能達成該上界？
• RQ5 在直徑為二的可比圖中，計算 γ×k(G) 是否為 NP-難問題？

主要发现

• 雙重 Slater 數 sℓ×2(G) 是所有無孤立頂點圖中 γ×2(G) 的有效下界。
• 判斷 sℓ×2(G) = γ×2(G) 的問題即使限制於四部圖亦為 NP-完全問題。
• 在直徑為二的可比圖中，計算 γ×k(G) 為 NP-難問題，對任意 k ≥ 2 均成立。
• d×k(G) 的上界為 d×k ≤ (1 + √(1 + 4(2m − (k−1)n)/(kγ×k)))/2，且等式成立當且僅當 G 屬於特定家族 Ψ 的 (kr−1)-正則圖。
• 圖 G 為完全圖（即 d(G) = δ(G) + 1）當且僅當 G ∈ Θ，其中 Θ 為透過將孤立頂點連接到其他各部分的一個頂點，並添加邊以確保跨部分支配所構造的 r-部圖家族。
• 對於正則圖，圖為完全圖當且僅當其為 (r+1)-部圖，且每對 Hi ∪ Hj 的誘導子圖形成完美匹配，從而以新形式確認 Zelinka（2005）的結果。