[论文解读] Revisiting Offspring Maxima in Branching Processes

George P. Yanev|ArXiv.org|Oct 21, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文重新研究了分支过程中最大后代规模的渐近行为，重点关注有移民与无移民情况下的次临界、临界和超临界Galton-Watson过程。通过生成函数和极值理论，建立了最大家族规模${\cal M}_n$的极限分布律，证明在尾部等价性和最大域吸引条件下，其收敛于广义极值分布，并为几何分布、负二项分布和帕累托分布的后代分布给出了显式形式。

ABSTRACT

We present a progress report for studies on maxima related to offspring in branching processes. We summarize and discuss the findings on the subject that appeared in the last ten years. Some of the results are refined and illustrated with new examples.

研究动机与目标

• 分析不同分支过程模型下最大后代规模${\cal M}_n$的渐近分布。
• 将极值理论扩展至后代数量为随机且与后代分布耦合的分支过程。
• 推导带移民的次临界和临界过程中${\cal M}_n$的极限定理，包括Foster-Pakes过程和BGW过程。
• 研究尾部等价性和最大域吸引性对两型分支过程中${\cal M}_n$极限分布的影响。
• 在各种后代分布（如几何分布和帕累托分布）下，提供${\cal M}_n$极限分布和期望的显式表达式。

提出的方法

• 使用概率生成函数（p.g.f.s）刻画次临界过程中${\cal M}_n$的极限分布，求解形如$\gamma(f(s)) = m\gamma(s) + 1 - m$的函数方程。
• 应用最大域吸引性和尾部等价性概念，推导${\cal M}_n$弱收敛于广义极值分布的结论。
• 利用二元极限分布的Laplace变换推导两型过程中${\cal M}_n^\zeta$的极限分布。
• 引入归一化序列$a(n)$和$b(n)$对${\cal M}_n$进行中心化和标准化，以实现收敛到非退化极限。
• 使用指示函数和条件概率处理移民和灭绝条件，尤其在Foster-Pakes过程和移民修正过程中。
• 应用二元极值理论和随机耦合技术，分析两型分支过程中两类个体最大值的极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非灭绝条件下，次临界Galton-Watson过程中最大后代规模${\cal M}_n$的极限分布是什么？
• RQ2 移民的引入如何影响分支过程中${\cal M}_n$的极限行为？
• RQ3 在何种条件下，两型临界分支过程中最大后代规模收敛到非退化极限？
• RQ4 在后代分布的何种尾部条件下，${\cal M}_n$收敛于广义极值分布？
• RQ5 两型分支过程中两类个体的相对规模如何影响最大家族规模的极限分布？

主要发现

• 对于几何后代分布的次临界Galton-Watson过程，有$\lim_{n\to\infty}P({\cal M}_n \leq k \mid Z_{n-1}>0) = \frac{(p-q)(1-q^{k+1})}{p - q(1-q^{k+1})}$，其中$m = q/p < 1$。
• 在负二项式p.g.f.为$\gamma(s) = \left(\frac{1-m}{1-ms}\right)^\nu$的移民修正过程中，极限概率为$\left(\frac{1-m}{1-mF(x)}\right)^ν$，且$\lim_{n\to\infty}E{\cal M}^{im}_n \leq \frac{\nu m^2}{1-m}$。
• 在Foster-Pakes过程中，若$f(s) = (1+m - ms)^{-1}$且$g(s) = 1 - \frac{\mu}{m}\log(1 + m - ms)$，则极限为$\lim_{n\to\infty}P({\cal M}^0_n \leq x) = \frac{m - \mu\log(1 - mF(x))}{m - \mu\log(1 - m)}$，且$\lim_{n\to\infty}E{\cal M}^0_n = \mu \left(m + \sum_{k=0}^\infty \log\left(\frac{1}{1 - F(k)}\right)\right)$。
• 在具有重尾后代分布（如帕累托分布）的两型临界分支过程中，有$\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{{\cal M}_n^\zeta}{\theta_1(v_1Bn)^{1/c}} \leq x \mid {\bf Z}(n) \neq {\bf 0}\right) = \left[1 + \left(1 + \frac{v_2}{v_1}\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{-c}\right)x^{-c}\right]^{-1}$。
• 对于逻辑斯蒂和指数后代分布，若使用相同的归一化常数，极限为$\left[1 + \left(1 + \frac{v_2}{v_1}\right)e^{-x}\right]^{-1}$，表明${\cal M}_n^\zeta - \log(v_1Bn)$具有逻辑斯蒂极限分布。
• 在两型过程中，${\cal M}_n^\zeta$的极限分布为$\left[1 + h(x,\theta) + \frac{v_2}{v_1}h(cx + d, \theta)\right]^{-1}$，其中$h(x,\theta)$为标准Gumbel分布的危险函数。