[论文解读] Revisiting path-type covering and partitioning problems

Paul Manuel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用 4

一句话总结

本综述通过标准化术语、符号和概念区分，统一并分类了图论中的六类路径型覆盖与划分问题——路径覆盖与划分、诱导路径覆盖与划分，以及测地路径（即等距路径）覆盖与划分问题。它指出了显著的研究空白，尤其是在等距路径划分方面，并为研究人员提供了结构化的参考，以避免术语混淆并导航文献。

ABSTRACT

Covering problems belong to the foundation of graph theory. There are several types of covering problems in graph theory such as covering the vertex set by stars (domination problem), covering the vertex set by cliques (clique covering problem), covering the vertex set by independent sets (coloring problem), and covering the vertex set by paths or cycles. A similar concept which is partitioning problem is also equally important. Lately research in graph theory has produced unprecedented growth because of its various application in engineering and science. The covering and partitioning problem by paths itself have produced a sizable volume of literatures. The research on these problems is expanding in multiple directions and the volume of research papers is exploding. It is the time to simplify and unify the literature on different types of the covering and partitioning problems. The problems considered in this article are path cover problem, induced path cover problem, isometric path cover problem, path partition problem, induced path partition problem and isometric path partition problem. The objective of this article is to summarize the recent developments on these problems, classify their literatures and correlate the inter-relationship among the related concepts.

研究动机与目标

• 解决图论文献中路径型覆盖与划分问题在术语和符号上的广泛不一致性。
• 对六类核心问题进行分类与系统化：路径、诱导路径和等距路径的覆盖与划分问题。
• 突出开放的研究问题与未充分探索的领域，特别是等距路径划分问题。
• 为初学者研究人员提供基础参考，以选择聚焦且定义明确的研究课题。
• 在统一框架内关联相关概念，如零 forcing 数、最小秩和 Nordhaus-Gaddum 型不等式。

提出的方法

• 基于是否涉及覆盖（顶点集至少被覆盖一次）或划分（顶点集恰好被划分一次），对六类路径型问题进行系统分类。
• 区分路径类型：标准路径、诱导路径（无弦路径）和等距路径（最短路径，亦称测地线）。
• 标准化符号：πc(G)、ρc(G)、ipc(G) 表示覆盖问题；πp(G)、ρp(G)、ipp(G) 表示划分问题。
• 对 1988 至 2018 年间共三十年的文献进行综述，重点分析结构结果、复杂性及算法方法。
• 整合相关概念：零 forcing 数 z(G)、最小秩 M(G)，以及 Nordhaus-Gaddum 型关系。
• 以关键定理与猜想（如 Gallai-Milgram 定理、Berge 路划分猜想）作为组织综述的理论锚点。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何图论中路径型覆盖与划分问题在术语和符号上缺乏一致性？
• RQ2 路径覆盖、诱导路径覆盖与等距路径覆盖问题之间的精确概念与结构差异是什么？
• RQ3 等距路径划分问题的计算复杂性现状如何？为何其在一般图中仍基本未被探索？
• RQ4 诱导路径划分数 ρp(G) 与相关不变量（如零 forcing 数 z(G) 和最小秩 M(G)）之间有何关系？
• RQ5 路径型划分问题中的关键开放问题与研究空白是什么，特别是针对等距路径与诱导路径？

主要发现

• 等距路径划分问题在很大程度上尚未被探索，一般图的计算复杂性状态尚不明确。
• 即使在将图划分为两条诱导路径的情况下，诱导路径划分问题也是 NP-完全的。
• 对于树图，诱导路径划分数 ρp(G) 等于零 forcing 数 z(G)，且 M(G) = ρp(G)。
• 对于伪环图，有 M(G) = ρp(G) 或 M(G) = ρp(G) − 1；对于外平面图，有 M(G) ≤ ρp(G)。
• 对于完全二分图 Pm×Pn，诱导路径划分数恰好为 2：ρp(Pm×Pn) = 2。
• 建立了关于 ρp(G) 的 Nordhaus-Gaddum 型不等式：对任意 n 个顶点的图 G，有 √n ≤ ρp(G) + ρp(G) ≤ ⌈3n/2⌉。