[论文解读] Revisiting Persistence of Chemical Reaction Networks through Lyapunov Function Partial Differential Equations

Xiaoyu Zhang, Zhou Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2018

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的李雅普诺夫函数PDE方法，用于分析质量作用定律化学反应网络（CRNs）中的持久性，从而推导出可检验的准则，以排除正卦限边界上的ω-极限点。该方法证明了某些类别的网络——特别是1D $Ω_I$-内向网络——无论速率常数如何，均具有持久性，为现有结果提供了新的洞见。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel technique, referred to as the Lyapunov Function PDEs technique, to diagnose persistence of chemical reaction networks with mass-action kinetics. The technique allows that every network is attached to a Lyapuonv function PDE and a boundary condition whose solutions are expected to be Lyapunov functions for the network. By means of solution of the PDEs, either in the forms of itself or its time derivative, some checkable criteria are proposed for persistence of network systems. These criteria show high validity in proving that neither non-semilocking boundary points nor semilocking boundary non-equilibrium points (with additional conditions included) in mass-action systems are $ω$-$limit$ points. Further, we prove that a class of networks, called $\mathcal{W}_{I}$-endotactic networks that are regardless of values of the system parameters, a set larger than endotactic networks but smaller than $w_{I}$-endotactic networks, also give rise to persistent systems if the networks are $1$-dimensional. Although part of our results are covered by existing ones, part of them are still new. The proposed Lyapunov Function PDEs technique allows us to check persistence of mass action systems in an alternative corner, and is exhibiting large potential.

研究动机与目标

• 开发一种新的分析框架，用于验证具有质量作用动力学的化学反应网络中的持久性。
• 解决确定轨迹是否避免趋近于灭绝（即边界ω-极限点）的挑战。
• 通过引入适用于非半锁合与半锁合非平衡边界点的基于PDE的李雅普诺夫函数方法，扩展现有的持久性准则。
• 证明1D $Ω_I$-内向网络无论速率常数如何均具有持久性，填补了内向网络与$w_I$-内向网络之间的空白。

提出的方法

• 该方法为每个CRN构造一个李雅普诺夫函数PDE，其边界条件由网络的结构和动力学决定。
• PDE的解或其时间导数用于推导持久性的可检验准则。
• 该方法利用李雅普诺夫函数梯度沿轨迹的行为来分析ω-极限集。
• 采用投影技术将高维系统简化为低维系统，聚焦于边界点处浓度为零的物种集合。
• 该方法分析当浓度趋近于零时反应速率的极限行为，使用涉及李雅普诺夫函数梯度的指数项。
• 该方法证明：若李雅普诺夫函数的时间导数在边界点附近一致为负，则该点不可能是ω-极限点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用基于PDE的李雅普诺夫函数框架来验证质量作用CRNs中的持久性？
• RQ2 在何种条件下，可排除边界非平衡点（特别是半锁合点）作为ω-极限点？
• RQ3 1D $Ω_I$-内向网络是否对所有速率常数均表现出持久性，即使其并非内向网络？
• RQ4 所提出的PDE方法能否恢复或扩展已知的持久性结果，特别是针对非半锁合与半锁合边界点？

主要发现

• 李雅普诺夫函数PDE方法为验证质量作用系统中的持久性提供了一种新颖的替代方法，其解可作为李雅普诺夫函数。
• 该方法证明：若相关PDE解满足某些条件，则非半锁合边界点不可能是ω-极限点。
• 对于半锁合边界非平衡点，若李雅普诺夫函数的时间导数在该类点附近一致为负，则可保证持久性。
• 本文证明：1D $Ω_I$-内向网络对所有参数值均具有持久性，即使其并非内向网络。
• 该方法通过表明边界点附近反应速率的极限行为仅取决于活性物种，从而推广了现有结果，使系统可简化为低维系统。