[论文解读] Revisiting quantum relativistic effects from phase transition by catastrophe theory

Jiu Hui Wu, Kejiang Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 1

一句话总结

本文提出，粒子中的量子相对论效应可被理解为相变，使用突变理论——特别是折叠突变模型——作为薛定谔方程中的势能函数。通过无量纲分析，推导出一个修正的薛定谔方程，其渐近行为可导出稳态的克莱因-戈尔登方程和狄拉克方程，表明相对论行为源自系统动力学中非光滑、定性转变的产物。

ABSTRACT

In this paper we start from the Schr\"odinger equation to revisit some classical quantum mechanics from the perspective of phase transition process. Here the relativistic effect of particles moving at high speed can be regarded as the phase transition process when the velocity variable increases. Considering that the catastrophe models could describe qualitatively any phase transition process, we adopt the simplest folding catastrophe type as the potential function in the Schr\"odinger equation to obtain a revised Schr\"odinger relativistic equation through the dimensionless analysis first, and then further to derive out the steady-state Klein-Gordon equation and Dirac relativistic equation gradually. These results reveal that the quantum relativistic effect could be considered as the phase transition process, which could be described by adopting the catastrophe models as the potential function in the classical Schr\"odinger equation.

研究动机与目标

• 通过相变的视角探索量子相对论效应。
• 研究突变理论是否可用于建模量子力学中的相对论行为。
• 利用基于突变的势能函数，从修正的薛定谔方程推导克莱因-戈尔登方程和狄拉克方程。
• 在非平衡相变与相对论量子场方程之间建立理论联系。

提出的方法

• 采用折叠突变势能函数 𝑉(𝑥) = 𝑥³ + 𝑛𝑥 作为薛定谔方程中标准势能的替代。
• 应用无量纲分析，推导质量 𝑚、约化普朗克常数 ħ、光速 𝑐 和频率 𝜔 等变量的标度关系。
• 将势能函数用能量 𝐸 和径向坐标 𝑟 表示，得到 𝑉(𝑟) = 𝛽𝐸²/(𝑚𝑐²) + 𝐵(ħ²𝐸𝑐/𝑚)²⁄³𝑟⁻⁴⁄³。
• 推导出包含基于突变的势能的修正时间依赖薛定谔方程。
• 利用能量-动量关系 𝐸² = 𝑐²𝑝² + 𝑚²𝑐⁴，将修正方程与相对论动力学联系起来。
• 通过在哈密顿量和旋量结构上施加一致性条件，推导出稳态的克莱因-戈尔登方程和狄拉克方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子相对论效应能否被解释为量子系统中相变过程？
• RQ2 折叠突变模型如何作为势能函数，从薛定谔方程生成相对论方程？
• RQ3 无量纲分析在连接经典量子力学与相对论场方程中起到何种作用？
• RQ4 突变理论在多大程度上能统一从单一修正薛定谔框架推导克莱因-戈尔登方程和狄拉克方程？

主要发现

• 通过无量纲分析缩放后的折叠突变势能函数 𝑉(𝑥) = 𝑥³ + 𝑛𝑥，可导出包含相对论项的修正薛定谔方程。
• 当系数 𝛽 满足 𝛽 = (𝑚²𝑐⁴ + 2𝑚𝑐²𝐸 − 𝐸²)/(2𝐸²) 时，所推导方程渐近重现稳态克莱因-戈尔登方程。
• 在相同条件下，通过引入满足克莱夫福德代数 𝑆𝑖𝑆𝑗 + 𝑆𝑗𝑆𝑖 = 2𝛿𝑖𝑗 的 4×4 狄拉克矩阵，该方程进一步导出狄拉克相对论方程。
• 狄拉克方程中的旋量结构自然源自哈密顿量形式，其中 𝑆0 和 𝑆𝑗 定义为包含单位矩阵和泡利矩阵的分块矩阵。
• 电子自旋的物理解释源于角动量算符 𝑱 = ħ𝑺/2，其满足对易关系 𝑱×𝑱 = 𝑖ħ𝑱。
• 该模型表明，相对论效应并非基本性质，而是系统势能景观中非光滑、灾难性转变的产物。