[论文解读] Revisiting Shor's quantum algorithm for computing general discrete logarithms

Martin Ekerå|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文重新探討了秀爾（Shor）的量子算法以計算離散對數，透過略微增加量子群運算並引入有限的經典後處理搜尋，提出修改方案，使單一執行中的成功機率顯著提升，超過99%。該方法利用半古典傅立葉變換與控制量子位元重用，啟發式分析顯示，隨著群階 r 增大，成功機率趨近於1。

ABSTRACT

We heuristically show that Shor's algorithm for computing general discrete logarithms achieves an expected success probability of approximately 60% to 82% in a single run when modified to enable efficient implementation with the semi-classical Fourier transform. By slightly increasing the number of group operations that are evaluated quantumly and performing a single limited search in the classical post-processing, or by performing two limited searches in the post-processing, we show how the algorithm can be further modified to achieve a success probability that heuristically exceeds 99% in a single run. We provide concrete heuristic estimates of the success probability of the modified algorithm, as a function of the group order $r$, the size of the search space in the classical post-processing, and the additional number of group operations evaluated quantumly. In the limit as $r \ ightarrow \\infty$, we heuristically show that the success probability tends to one. In analogy with our earlier works, we show how the modified quantum algorithm may be heuristically simulated classically when the logarithm $d$ and $r$ are both known. Furthermore, we heuristically show how slightly better tradeoffs may be achieved, compared to our earlier works, if $r$ is known when computing $d$. We generalize our heuristic to cover some of our earlier works, and compare it to the non-heuristic analyses in those works.

研究动机与目标

• 提升秀爾量子演算法在單一執行中計算離散對數的成功機率。
• 透過半古典量子傅立葉變換與控制量子位元重用，實現高效實作。
• 提供成功機率的啟發式估計，作為群階 r、搜尋空間大小與額外量子運算的函數。
• 比較當 r 為已知與未知時，量子與經典資源之間的權衡。
• 推廣並驗證啟發式分析與先前非啟發式研究的對應關係。

提出的方法

• 修改秀爾原始演算法，使用半古典量子傅立葉變換，以降低量子資源需求。
• 引入有限的經典後處理搜尋（單一或雙重）以修正量測結果，提升成功機率。
• 利用控制量子位元重用技術，減少量子位元開銷並提升電路效率。
• 基於有理逼近的分數部分呈均勻分佈的假設，進行啟發式分析。
• 推導成功機率估計值，作為群階 r、量子群運算次數與經典搜尋空間大小的函數。
• 透過數值驗證，對照 [6, 7, 8] 中先前的精確分析，在參數重疊區域確認啟發式結果的正確性。

实验结果

研究问题

• RQ1 秀爾離散對數演算法是否可經修改，使單一執行的成功機率超過99%？
• RQ2 成功機率如何隨著額外的量子群運算與經典後處理搜尋而變化？
• RQ3 當群階 r 為已知時，量子與經典資源之間的權衡為何？
• RQ4 啟發式成功機率模型與先前研究的非啟發式分析相比，表現如何？
• RQ5 啟發式模型是否可推廣以涵蓋早期用於短離散對數的演算法？

主要发现

• 使用半古典QFT與控制量子位元重用時，修改後的演算法在單一執行中成功機率約為60%至82%。
• 透過略微增加量子運算次數並執行一次有限的經典搜尋，啟發式成功機率可超過99%。
• 以兩次有限的經典搜尋取代單次搜尋，可進一步提升成功機率，隨著群階 r 增大而趨近於100%。
• 在 r → ∞ 的極限下，根據啟發式模型，修改後演算法的成功機率趨近於1。
• 當 r 為已知時，與先前研究相比，可達成更佳的量子與經典資源權衡。
• 數值驗證顯示，啟發式分析與 [7] 中的精確分析在 d ~ √r 時相符，驗證了模型在重疊區域的準確性。