[论文解读] Revisiting the stability of computing the roots of a quadratic polynomial

Nicola Mastronardi, Van Dooren Paul|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文证明了通过逐元素混合稳定性（EMS）可计算二次多项式的根，即计算得到的根在相对、分量意义上的扰动多项式中接近精确根。本文证明了EMS是可实现的，且强于范数意义上的向后稳定性，但通过一个具有小系数的反例表明，不存在任何算法能普遍实现逐元素向后稳定性（EBS）。

ABSTRACT

We show in this paper that the roots $x_1$ and $x_2$ of a scalar quadratic polynomial $ax^2+bx+c=0$ with real or complex coefficients $a$, $b$ $c$ can be computed in a element-wise mixed stable manner, measured in a relative sense. We also show that this is a stronger property than norm-wise backward stability, but weaker than element-wise backward stability. We finally show that there does not exist any method that can compute the roots in an element-wise backward stable sense, which is also illustrated by some numerical experiments.

研究动机与目标

• 分析具有实数或复数系数的二次多项式求根算法的数值稳定性。
• 确定是否对所有二次多项式均可实现逐元素向后稳定性（EBS）。
• 提出一种更强的稳定性概念——逐元素混合稳定性（EMS），该概念既具有实用性又具备理论严谨性。
• 通过理论分析与数值实验表明，EBS在一般情况下不可实现，尤其是在多项式具有小系数时。

提出的方法

• 通过缩放将二次多项式转化为首一形式，确保系数计算具有向后稳定性和前向稳定性。
• 应用变量缩放，将问题简化为标准形式 $ y^2 - 2\beta y + e = 0 $，其中 $ e = \pm 1 $，以简化根的计算。
• 在IEEE浮点数标准下使用稳定算术计算平方根和基本运算，确保相对向后误差被限制在 $ \mathcal{O}(u) $ 量级。
• 证明计算得到的根满足逐元素混合稳定性（EMS），即根与系数的扰动为相对且分量意义上的。
• 利用向量范数不等式和向后误差的界，证明EMS蕴含范数意义上的向后稳定性（NBS），但更强。
• 构造一个反例，其中 $ \beta = 2^{-t} + 2^{-2t} $，表明由于浮点数表示的固有网格限制和相对误差累积，任何可表示的根都无法满足EBS。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以逐元素向后稳定的方式计算二次多项式的根？
• RQ2 对于具有实数或复数系数的所有二次多项式，逐元素混合稳定性（EMS）是否可实现？
• RQ3 在强度和实用性方面，EMS与范数意义上的向后稳定性（NBS）相比如何？
• RQ4 为何即使使用最优算法，逐元素向后稳定性（EBS）在一般情况下仍不可实现？
• RQ5 小系数在破坏EBS方面起什么作用？这对数值稳定性有何影响？

主要发现

• 对于具有实数或复数系数的二次多项式求根，可实现逐元素混合稳定性（EMS），确保每个系数和根的相对向后误差为 $ \mathcal{O}(u) $ 量级。
• EMS强于范数意义上的向后稳定性（NBS），因为它提供分量意义上的相对误差界，而非向量范数的误差界。
• 不存在任何算法能对所有二次多项式实现逐元素向后稳定性（EBS），这一结论通过反例 $ \beta = 2^{-t} + 2^{-2t} $ 和 $ 2^{-2t} \leq u/2 $ 得到证明。
• 在该反例中，所有可表示的根在和上的相对误差均为 $ \sqrt{u} $ 量级，由于浮点数表示的网格限制，导致EBS无法实现。
• 数值实验表明，对于随机生成的实数和复数多项式，EMS成立；但对于 $ \beta $ 极小的多项式，EMS不成立，这与EBS的理论不可实现性一致。
• 将多项式转化为标准形式 $ y^2 - 2\beta y + e = 0 $（其中 $ e = \pm 1 $）可实现稳定计算，是实现EMS的关键。