[论文解读] RG flow between $W_3$ minimal models by perturbation and domain wall approaches

Hasmik Poghosyan, Rubik Poghossian|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文通过微扰理论和域墙方法，研究了 W3 最小模型 A(p)₂ 与 A(p−1)₂ 之间的重整化群（RG）流。计算了三类 RG 不变量场集的异常维数和 W-权重，通过矩阵对角化确定了紫外（UV）/红外（IR）混合系数，并发现 W3 理论中次级场的三点多函数存在全纯-反全纯分解的破坏。域墙方法对第二类场集的计算结果与微扰结果一致，且利用守恒流定义了基于 OPE 结构常数的异常 W-权重。

ABSTRACT

We explore the RG flow between neighboring minimal CFT models with $W_3$ symmetry. After computing several classes of OPE structure constants we were able to find the matrices of anomalous dimensions for three classes of RG invariant sets of local fields. Each set from the first class consists of a single primary field, the second one of three primaries, while sets in the third class contain six primary and four secondary fields. We diagonalize their matrices of anomalous dimensions and establish the explicit maps between UV and IR fields (mixing coefficients). While investigating the three point functions of secondary fields we have encountered an interesting phenomenon, namely violation of holomorphic anti-holomorphic factorization property, something that does not happen in ordinary minimal models with Virasoro symmetry solely. Furthermore, the perturbation under consideration preserves a non-trivial subgroup of $W$ transformations. We have derived the corresponding conserved current explicitly. We used this current to define a notion of anomalous $W$-weights in perturbed theory: the analog for matrix of anomalous dimensions. For RG invariant sets with primary fields only we have derived a formula for this quantity in terms of structure constants. This allowed us to compute anomalous $W$-weights for the first and second classes explicitly. The same RG flow we investigate also with the domain wall approach for the second RG invariant class and find complete agreement with the perturbative approach.

研究动机与目标

• 通过微扰和域墙方法研究相邻 W3 最小模型 A(p)₂ 与 A(p−1)₂ 之间的 RG 流。
• 计算三类 RG 不变量局部场集（单初级场、三初级场、六初级场加四个次级场）的异常维数矩阵。
• 通过异常维数矩阵的对角化，明确建立紫外到红外的场混合系数。
• 探讨 W3 理论中次级场三点多函数的全纯-反全纯分解破坏问题。
• 利用守恒流和 OPE 结构常数定义并计算异常 W-权重，尤其针对初级场。

提出的方法

• 从第一性原理推导 W3 最小模型的 OPE 结构常数，包括此前未知的常数，使用 Toda CFT 技术和解析续延。
• 构建三类 RG 不变量场区间的异常维数矩阵，并通过对其对角化提取紫外/红外混合系数。
• 识别出与保留的 W-对称性子群相关的守恒流，从而实现异常 W-权重的定义。
• 推导出异常 W-权重关于 OPE 结构常数的公式（式 3.16），适用于初级场。
• 对第二类场集（三初级场）应用域墙方法，利用电流代数构造域墙，并与微扰结果匹配。
• 在 W3 最小模型的 WZNW 模型实现中进行显式计算，使用最高权态和电流代数约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 W3 最小模型中，紫外局部场在由稍显相关扰动引发的 RG 流下如何映射到红外场？
• RQ2 W3 最小模型中，初级场与次级场的 RG 不变量集合的异常维数和混合系数具有何种结构？
• RQ3 在 W3 理论中，次级场的三点多函数是否保持全纯-反全纯分解？若不成立，原因是什么？
• RQ4 在微扰后的 W3 理论中，是否可以定义并计算异常 W-权重？其与 OPE 结构常数有何关系？
• RQ5 域墙构造在多大程度上重现了 W3 最小模型中 RG 流的微扰结果？

主要发现

• 成功计算并对角化了三类 RG 不变量类别的异常维数矩阵，得到了场组合的显式紫外/红外混合系数。
• 对于第一类（单初级场），紫外到红外的映射为一对一对应，无混合现象。
• 对于第二类（三初级场），通过域墙方法独立验证了混合系数，与微扰结果完全一致。
• 在涉及次级场的三点多函数中观察到全纯-反全纯分解的破坏，此现象在 Virasoro 最小模型中不存在。
• 明确构造了与保留的 W-对称性子群相关的守恒流，从而实现了异常 W-权重的定义。
• 推导出关于 OPE 结构常数的异常 W-权重的优美公式（式 3.16），并显式计算了第一类和第二类的数值。