[论文解读] RG flows on $S^d$ and Hamiltonian truncation

Matthijs Hogervorst|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种非微扰哈密顿量截断方法，用于计算在 $S^d$ 上的标量量子场论的配分函数和关联函数，通过在 $S^{d-1}$ 上使用时间依赖的哈密顿量并进行有限态截断实现。该方法在 $S^3$ 上的大质量标量理论中与解析的 $F$-系数结果高度一致，并为经过反项改进后的 $i\phi^3$ 理论提供了紫外有限性的数值证据。

ABSTRACT

We describe a nonperturbative method to compute the partition function and correlation functions for scalar QFTs set on the $d$-dimensional sphere $S^d$. The method relies on a Hamiltonian picture, where the theory is quantized on $S^{d-1}$ and states evolve in time by means of a time-dependent Hamiltonian. Crucially, the Hilbert space on $S^{d-1}$ is truncated to a finite set of states below a cutoff. Throughout this work we focus on the $ϕ^2$ and $iϕ^3$ flows in three dimensions. In the first part of this paper we analyze the cutoff-dependence of various observables, computing both divergent and RG-improvement counterterms to be added to the action. Next we present nonperturbative results for the massive scalar on $S^3$, finding good agreement in the strong-coupling regime between numerical data and the $F$-coefficient of the free scalar CFT. We also check that the renormalized $i ϕ^3$ theory on $S^3$ is nonperturbatively UV-finite. The scheme in question breaks the $\mathrm{SO}(d+1)$ spacetime symmetry group of $S^d$ down to $\mathrm{SO}(d)$, and in an example we study how the full symmetry is restored in the continuum limit. The relation between our method and earlier work by Al. B. Zamolodchikov involving a specific RG flow on $S^2$ is explained as well.

研究动机与目标

• 开发一种基于哈密顿量截断的非微扰方法，用于计算 $S^d$ 上的量子场论可观测量。
• 研究在 $S^3$ 上具有 $\phi^2$ 和 $i\phi^3$ 相互作用的标量量子场论中的截断依赖性和重整化行为。
• 通过该方法数值计算自由标量共形场论的 $F$-系数，并验证 $i\phi^3$ 理论的紫外有限性。
• 分析在连续极限下 $\mathrm{SO}(d+1)$ 时空对称性的恢复情况。
• 将该方法与 Zamolodchikov 在 $S^2$ 上关于重整化群流的早期工作相联系。

提出的方法

• 在 $S^{d-1}$ 上对标量量子场论进行量子化，采用时间依赖的哈密顿量，将该理论视为一个 $d-1$ 维的量子系统。
• 将福克空间截断至低于截断能标 $\Lambda$ 的有限数量态，从而将希尔伯特空间缩减到可处理的规模。
• 通过将时间离散化为 $T \gg 1$ 个时间片并求和中间态，计算杜林算符 $U$。
• 利用模函数 $K_\ell(\tau)$ 和勒让德多项式处理球面对称性和径向依赖性。
• 应用重整化群改进的反项以消除发散，并改善向连续极限的收敛性。
• 利用紫外区域的共形对称性来约束矩阵元，从而可能提升计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^{d-1}$ 上的哈密顿量截断能否为 $S^d$ 上的量子场论提供可靠的非微扰结果？
• RQ2 配分函数和关联函数中的截断依赖发散行为如何表现？能否系统性地消除？
• RQ3 在 $S^3$ 上的 $i\phi^3$ 理论在加入一个随截断 $\Lambda$ 对数增长的局部反项后，是否仍保持紫外有限？
• RQ4 在连续极限 $\Lambda \to \infty$ 下，$\mathrm{SO}(d+1)$ 时空对称性在多大程度上得以恢复？
• RQ5 该方法能否准确地通过数值手段再现自由标量共形场论的 $F$-系数？

主要发现

• 该方法在强耦合区域中，成功地将 $S^3$ 上自由标量共形场论的 $F$-系数与数值结果和解析结果进行良好匹配。
• 对于 $S^3$ 上的 $i\phi^3$ 理论，数值证据表明在加入一个随截断 $\Lambda$ 对数增长的局部反项后，理论保持紫外有限。
• 在连续极限 $\Lambda \to \infty$ 下，$\mathrm{SO}(d+1}$ 对称性在单点函数 $\langle\phi^2\rangle$ 的截断违反的诺特定恒等式中完全消失。
• 该方案正确捕捉了 $S^3$ 上的 $\phi^2$ 流，其结果与已知的解析预期一致。
• 该方法可推广至与 $\mathbb{R} \times S^{d-1}$ 共形等价的其他流形，如欧几里得反德西特空间或 de Sitter 空间。
• 引入共形对称性可显著提升计算效率，通过减少所需矩阵元的数量。