[论文解读] Rheochaos in a Scalar Shear-Thickening Model

M. E. Cates, David Head+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2002

Rheology and Fluid Dynamics Studies被引用 1

一句话总结

本文提出了一种零雷诺数下剪切增稠流体的标量本构模型，其中应力松弛通过两种竞争路径发生：非线性、非单调的速率 R(σ₁) 和线性速率 λσ₂。在特定参数范围内——尤其是当 τ₂ > τ₁ 且 −λ < R′(σ) < 0 时——系统表现出周期倍化通往混沌的路径，尽管稳态流变曲线单调，揭示了复杂流体中流变混沌的通用机制。

ABSTRACT

We study a simple scalar constitutive equation for a shear-thickening material at zero Reynolds number, in which the shear stress \sigma is driven at a constant shear rate \dot\gamma and relaxes by two parallel decay processes: a nonlinear decay at a nonmonotonic rate R(\sigma_1) and a linear decay at rate \lambda\sigma_2. Here \sigma_{1,2}(t) = au_{1,2}^{-1}\int_0^t\sigma(t')\exp[-(t-t')/ au_{1,2}] { m d}t' are two retarded stresses. For suitable parameters, the steady state flow curve is monotonic but unstable; this arises when au_2> au_1 and 0>R'(\sigma)>-\lambda so that monotonicity is restored only through the strongly retarded term (which might model a slow evolution of material structure under stress). Within the unstable region we find a period-doubling sequence leading to chaos. Instability, but not chaos, persists even for the case au_1 o 0. A similar generic mechanism might also arise in shear thinning systems and in some banded flows.

研究动机与目标

• 研究在零雷诺数条件下，剪切增稠流体的最小模型中混沌动力学的出现机制。
• 分析竞争的非线性与线性应力松弛机制如何在稳态流变曲线单调的前提下仍导致不稳定与混沌。
• 识别参数区域——特别是滞后应力分量之间时间尺度分离的区域——其中混沌通过周期倍化产生。
• 通过考察非线性松弛时间 τ₁ → 0 的极限情况，探究该机制的鲁棒性。
• 提出类似机制可能也解释剪切变稀系统和条带流中混沌的产生。

提出的方法

• 构建一个标量本构方程，其中剪切应力 σ 由恒定剪切速率 ɣ̇ 驱动，引入通过指数平均核定义的两个滞后应力分量 σ₁ 和 σ₂。
• 非线性衰减速率 R(σ₁) 为非单调，引入对应力历史敏感的反馈机制，而 σ₂ 以速率 λ 线性衰减。
• 时间常数 τ₁ = a u₁⁻¹ 和 τ₂ = a u₂⁻¹ 分别控制 σ₁ 和 σ₂ 的记忆深度，其中 τ₂ > τ₁ 使得稳定项受到强烈滞后影响。
• 在稳态流变曲线保持单调但因 R(σ₁) 与 λσ₂ 的相互作用而变得不稳定的参数空间中分析该模型。
• 使用分支分析追踪从稳态流动到周期振荡，最终通过周期倍化序列进入混沌的转变过程。
• 通过数值与解析方法研究系统行为，重点关注 R′(σ) 和比值 τ₂/τ₁ 在诱发不稳定性与混沌中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在剪切增稠流体中，当其稳态流变曲线单调时，何种条件下该曲线会变得不稳定？
• RQ2 在最小标量模型中，竞争的非线性与线性应力松弛路径如何引发混沌动力学？
• RQ3 两个滞后应力分量之间的时间尺度分离在实现周期倍化与混沌中起什么作用？
• RQ4 当非线性松弛时间 τ₁ 趋近于零时，混沌是否仍然存在，表明该机制的鲁棒性？
• RQ5 该机制能否推广至其他复杂流体体系，如剪切变稀流体或条带流？

主要发现

• 当非单调松弛速率 R(σ₁) 满足 −λ < R′(σ) < 0 且时间常数 τ₂ > τ₁ 时，模型中混沌通过周期倍化序列出现。
• 稳态流变曲线保持单调，但在 τ₂ > τ₁ 且强滞后项 σ₂ 提供延迟稳定性的参数区域内变得不稳定。
• 即使在 τ₁ → 0 的极限下，不稳定性依然存在，表明混沌机制并非依赖于快速非线性反馈，而是依赖于松弛过程的相对时序。
• 非单调 R(σ₁) 的存在对不稳定性及后续混沌的产生至关重要，因其引入了非线性反馈回路。
• 该模型提出了一种通用的流变混沌机制，可能适用于其他复杂流体体系，包括剪切变稀流体与条带流，原因在于其类似的竞争松弛动力学。