[论文解读] Ribbon Complexes & their Approximate Descriptive Proximities. Ribbon & Vortex Nerves, Betti Numbers and Planar Divisions

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文在亚历克山德罗夫-霍普夫-惠特黑德CW拓扑空间中引入了束状复形、束状神经元和涡状神经元，定义了新的贝蒂数——Brb、Brbx和BrbNrv，用于量化平面束状结构及其交点的拓扑特征。研究证明束状神经元与其并集具有相同的同伦型，将埃德尔布鲁纳-哈勒尔神经元定理推广至束状结构，并证明一个束状结构将平面划分为三个有界区域，且其边界上存在布劳威尔不动点。

ABSTRACT

This article introduces planar ribbons, Vergili ribbon complexes and ribbon nerves in Alexandroff-Hopf-Whitehead CW (Closure finite Weak) topological spaces. A {\em planar ribbon} (briefly, {ribbon}) in a CW space is the closure of a pair of nesting, non-concentric filled cycles that includes the boundary but does not include the interior of the inner cycle. Each planar ribbon has its own distinctive shape determined by its outer and inner boundaries and the interior within its boundaries. A Vergili ribbon complex (briefly, ribbon complex) in a CW space is a non-void collection of countable planar ribbons. A ribbon nerve is a nonvoid collection of planar ribbons (members of a ribbon complex) that have nonempty intersection. A planar CW space is a non-void collection of cells (vertexes, edges and filled triangles) that may or may not be attached to other and which satisfy Alexandroff-Hopf-Whitehead containment and intersection conditions. In the context of CW spaces, planar ribbons, ribbon complexes and ribbon nerves are characterized by Betti numbers derived from standard Betti numbers $\mathcal{B}_0$ (cell count), $\mathcal{B}_1$ (cycle count) and $\mathcal{B}_2$ (hole count), namely, $\mathcal{B}_{rb}$ and $\mathcal{B}_{rbNrv}$ introduced in this paper. Results are given for collections of ribbons and ribbon nerves in planar CW spaces equipped with an approximate descriptive proximity, division of the plane into three bounded regions by a ribbon and Brouwer fixed points on ribbons. In addition, the homotopy types of ribbons and ribbon nerves are introduced.

研究动机与目标

• 在CW空间中形式化平面束状结构，定义为嵌套的、非同心的填充环，且排除内环内部区域。
• 将束状复形定义为可数个平面束状结构的非空集合，将束状神经元定义为束状结构子集的交集。
• 引入三种新的贝蒂数——Brb、Brbx和BrbNrv，用于量化如纤维、孔洞及重叠束状结构等拓扑特征。
• 建立束状神经元与其并集之间的同伦等价性，将埃德尔布鲁纳-哈勒尔神经元定理推广至束状结构。
• 分析束状结构对平面的拓扑分割，并证明其边界上存在布劳威尔不动点。

提出的方法

• 将平面束状结构定义为两个嵌套的、非同心的填充环之间的区域的闭包，且排除内环内部区域。
• 在CW空间中引入维尔吉利束状复形，作为满足闭包有限弱拓扑的此类束状结构的非空集合。
• 将束状神经元定义为多个束状结构的非空交集，并引入涡状神经元作为嵌套束状结构的概念。
• 提出三种新的贝蒂数：Brb（用于单个束状结构）、Brbx（用于束状复形）和BrbNrv（用于束状神经元），其基于B0、B1、B2贝蒂数。
• 应用埃德尔布鲁纳-哈勒尔定理，证明一组闭合、凸的束状复形的神经元与其并集具有相同的同伦型。
• 使用近似描述邻近性分析束状结构之间的空间关系及其拓扑不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在CW拓扑空间中形式化并表征平面束状结构？
• RQ2 与束状结构、束状复形及束状神经元相关的拓扑不变量（如贝蒂数）有哪些？
• RQ3 束状结构如何分割平面，其边界上适用哪些不动点定理？
• RQ4 束状神经元的同伦型是什么，其与构成它的束状结构并集之间有何关系？
• RQ5 神经元定理能否扩展至欧几里得空间中的束状复形与神经元？

主要发现

• 一个平面束状结构将平面划分为三个互不相交的有界区域，且每个束状结构在其边界上至少包含一个布劳威尔不动点。
• 束状结构的贝蒂数Brb(rbE)定义为B0(rbE) + B1(rbE) + B2(rbE) = 1 + 2 + 3 = 6，对应于一个具有1根纤维、2个环和3个孔洞的束状结构。
• 束状复形的贝蒂数Brbx(rbxK)等于复形中所有束状结构的Brb(rbE)之和，因此对于包含五个束状结构的复形，有Brbx = 5。
• 束状神经元的贝蒂数BrbNrv(rbNrvE)计算为B0 + B1 + B2 = 0 + 3 + 3 = 6，对应于三个重叠束状结构和六个孔洞的神经元。
• 一组闭合、凸的束状复形的神经元与其并集具有相同的同伦型，从而推广了埃德尔布鲁纳-哈勒尔定理。
• 对于涡状神经元，其贝蒂数Brb-vNrv(vNrvE)为神经元中所有束状结构的Brb(rbA)之和，而BrbNrv-vNrv(vNrvE)为所有神经元组分的BrbNrv(rbNrvA)之和。