[论文解读] Riccati equations and optimal control of well-posed linear systems

Kalle Mikkola|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文建立了适定线性系统中黎卡提方程与最优控制之间的联系，证明代数黎卡提方程的解可产生镇定反馈律。在LQR反馈下，闭环系统具有指数稳定性，控制算子具有适定性，状态轨迹属于适当的函数空间。

ABSTRACT

We generalize the classical theory on algebraic Riccati equations and optimization to infinite-dimensional well-posed linear systems, thus completing the work of George Weiss, Olof Staffans and others. We show that the optimal control is given by the stabilizing solution of an integral Riccati equation. If the input operator is not maximally unbounded, then this integral Riccati equation is equivalent to the algebraic Riccati equation. Using the integral Riccati equation, we show that for (nonsingular) minimization problems the optimal state-feedback loop is always well-posed. In particular, the optimal state-feedback operator is admissible also for the original semigroup, not only for the closed-loop semigroup (as has been known in some cases); moreover, both settings are well-posed with respect to an external input. This leads to the positive solution of several central, previously open questions on exponential, output and dynamic (aka. "internal") stabilization and on coprime factorization of transfer functions. Our theory covers all quadratic (possibly indefinite) cost functions, but the optimal state feedback need not be well-posed (admissible) unless the cost function is uniformly positive or the system is sufficiently regular.

研究动机与目标

• 建立代数黎卡提方程的解与适定线性系统中最优控制律之间的等价性。
• 证明由黎卡提方程导出的反馈控制律可实现系统的强镇定。
• 在LQR反馈背景下，分析控制算子的适定性与正则性。
• 表征状态轨迹空间，并验证闭环系统对所有初始条件均保持在所需的函数空间中。

提出的方法

• 分析基于具有生成元A和控制算子B的适定线性系统框架。
• 应用焦点控制条件（FCC）以确保黎卡提方程解的存在性。
• 反馈控制律表示为 u = -M^*Kx，其中K为代数黎卡提方程的解。
• 通过证明闭环算子生成强连续半群来建立稳定性。
• 证明依赖于表明反馈律将初始状态映射到适定控制空间 L^2(R+; U)。
• 证明系统为SOS-镇定，即状态轨迹在L^2意义下有界并收敛于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，代数黎卡提方程的解可产生镇定反馈控制律？
• RQ2 焦点控制条件（FCC）如何确保黎卡提方程解的存在性与正则性？
• RQ3 黎卡提方程的解与控制算子的适定性之间有何关系？
• RQ4 在LQR反馈下，能否证明闭环系统具有指数稳定性？
• RQ5 在反馈律下，状态轨迹属于何种函数空间？

主要发现

• 由黎卡提方程导出的反馈控制律可确保闭环系统为强镇定。
• 控制算子M具有适定性，即对所有初始状态，控制输入均属于 L^2(R+; U)。
• 状态轨迹x(t)保持在空间X中，该空间为与黎卡提方程解相关的算子的图空间。
• 系统被证明为SOS-镇定，即状态随时间在L^2意义下衰减至零。
• 当U∗ = Uout 或 U∗ = Uexp 时，系统满足控制算子所需的正则性条件。
• 黎卡提方程的解K满足：对所有x₀ ∈ H 和所有u₀ ∈ L^2(R+; U)，均有 Kx₀ + Mu₀ ∈ U∗(x₀)。