[论文解读] Ricci curvature and isometric actions with scaling nonvanishing property

Jiayin Pan, Xiaochun Rong|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文引入了黎曼流形上具有下界 Ricci 曲率的等距作用的缩放 $Φ$-非退化性质，通过等距位移将大尺度与小尺度几何联系起来。在该条件及单位球非坍塌的前提下，证明了基本群的短生成元数量有统一有界，从而得出结论：对于具有非负 Ricci 曲率与欧氏体积增长的开流形，其基本群是有限生成的。

ABSTRACT

In the study manifolds of Ricci curvature bounded below, a stumbling obstruction is the lack of links between large-scale geometry and small-scale geometry at a fixed reference point. There have been few links (volume, dimension) when the unit ball at the point is not collapsed, that is, $\mathrm{vol}(B_1(p))\ge v>0$. In this paper, we conjecture a new link in terms of isometries: if the maximal displacement of an isometry $f$ on $B_1(p)$ is at least $δ>0$, then the maximal displacement of $f$ on the rescaled unit ball $r^{-1}B_r(p)$ is at least $Φ(δ,n,v)>0$ for all $r\in(0,1)$. We call this scaling $Φ$-nonvanishing property at $p$. We study the equivariant Gromov-Hausdorff convergence of a sequence of Riemannian universal covers with abelian $π_1(M_i,p_i)$-actions $(\widetilde{M}_i, ilde{p}_i,π_1(M_i,p_i))\overset{GH}\longrightarrow(\widetilde{X}, ilde{p},G)$, where $π_1(M_i,p_i)$-action is scaling $Φ$-nonvanishing at $ ilde{p_i}$. We establish a dimension monotonicity on the limit group associated to any rescaling sequence. As one of the applications, we prove that for an open manifold $M$ of non-negative Ricci curvature, if the universal cover $\widetilde{M}$ has Euclidean volume growth and $π_1(M,p)$-action on $R^{-1}\widetilde{M}$ is scaling $Φ$-nonvanishing at $ ilde{p}$ for all $R$ large, then $π_1(M)$ is finitely generated.

研究动机与目标

• 解决具有下界 Ricci 曲率的流形中大尺度与小尺度结构之间缺乏几何联系的问题。
• 通过建立新的几何条件，克服 Milnor 猜想中的障碍——即对于具有非负 Ricci 曲率的开流形，其基本群是否有限生成。
• 在 $Φ$-非退化条件下，利用等距位移缩放，对基点处的短生成元数量建立统一有界性。
• 证明在具有 $ρ\geq0$、欧氏体积增长及缩放 $Φ$-非退化作用的开 $n$-流形上，基本群是有限生成的。
• 猜想：当单位球非坍塌时，缩放 $Φ$-非退化条件自动成立，这将使主要结果推广至所有此类流形。

提出的方法

• 定义缩放 $Φ$-非退化性质：若一个等距在小球上的位移 $\geq \delta$，则其在更小球上的缩放位移仍被 $\Phi(\delta)$ 从下方控制。
• 使用等变 Gromov-Hausdorff 收敛分析具有阿贝尔基本群作用的万有覆盖序列。
• 在缩放下利用切锥与群作用，对极限群应用维数单调性论证。
• 采用对角线序列方法，提取缩放流形及其相关群作用的收敛子序列。
• 通过反证法，利用同伦群连通分支数的归纳法排除无限生成的可能性。
• 应用 Wilking 的约化方法，将注意力限制在阿贝尔基本群上，从而简化有限生成性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否提出一种几何条件，将大尺度与小尺度等距行为联系起来，以克服 Ricci 曲率几何中尺度联系的缺失？
• RQ2 在具有 $\mathrm{Ric} \geq 0$ 的开流形万有覆盖中，当单位球非坍塌时，缩放 $Φ$-非退化性质是否对所有情况成立？
• RQ3 在缩放 $Φ$-非退化条件下，$\pi_1(M,p)$ 的短生成元数量能否在点 $p$ 处统一有界？
• RQ4 缩放 $Φ$-非退化条件是否蕴含具有 $\mathrm{Ric} \geq 0$ 与欧氏体积增长的开 $n$-流形上 $\pi_1(M)$ 的有限生成性？
• RQ5 能否通过缩放与约化技术，将阿贝尔情形的结果推广至一般基本群，从而证明 Milnor 猜想？

主要发现

• 对任意 $n, R, v > 0$ 及正函数 $\Phi$，存在常数 $C(n,R,v,\Phi)$，使得若 $\mathrm{vol}(B_1(\tilde{p})) \geq v$ 且 $\pi_1(M,p)$-作用在 $\tilde{p}$ 处为缩放 $\Phi$-非退化，则 $\#S(p,R) \leq C(n,R,v,\Phi)$。
• 缩放 $\Phi$-非退化条件确保等距位移在缩放下不退化，从而在小尺度上提供位移的统一下界。
• 若万有覆盖 $\widetilde{M}$ 具有欧氏体积增长，且对所有 $R \geq 1$，$\pi_1(M,p)$-作用在 $R^{-1}\widetilde{M}$ 上于 $\tilde{p}$ 处为缩放 $\Phi$-非退化，则 $\pi_1(M)$ 是有限生成的。
• 证明依赖于缩放万有覆盖的等变 Gromov-Hausdorff 收敛性，以及通过群作用极限的反证法。
• 在缩放下，极限群作用的维数下降，从而可在同伦群结构上使用归纳法。
• 若猜想成立：当 $\mathrm{vol}(B_1(\tilde{p})) \geq v > 0$ 时，缩放 $\Phi$-非退化条件自动成立，则可推出所有具有 $\mathrm{Ric} \geq 0$ 的开 $n$-流形均满足 Milnor 猜想。