[论文解读] Ricci curvature lower bounds on Sasakian manifolds

Paul W. Y. Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文证明了在赋予子黎曼度量和庞普测度时，具有非负Tanaka-Webster Ricci曲率的Sasakian流形满足度量收缩性质 $MCP(0,N)$，其中 $N$ 为某正整数。该结果被推广至一类扩展子黎曼结构的单参数Riemann度量族，从而得到合成Ricci曲率的下界，并推导出关键的几何与分析性结论，如Doubling性质、Poincaré不等式以及Harnack型估计。

ABSTRACT

Measure contraction property is a synthetic Ricci curvature lower bound for metric measure spaces. We consider Sasakian manifolds with non-negative Tanaka-Webster Ricci curvature equipped with the metric measure space structure defined by the sub-Riemannian metric and the Popp measure. We show that these spaces satisfy the measure contraction property $MCP(0,N)$ for some positive integer $N$. We also show that the same result holds when the Sasakian manifold is equipped with a family of Riemannian metrics extending the sub-Riemannian one.

研究动机与目标

• 通过在具有非负Tanaka-Webster Ricci曲率的Sasakian流形上利用度量收缩性质 $MCP(0,N)$ 建立合成Ricci曲率下界。
• 将 $MCP(0,N)$ 结果从子黎曼度量推广至一类扩展子黎曼结构的单参数Riemann度量族。
• 从 $MCP(0,N)$ 条件推导出几何与分析性后果，如Doubling性质、Poincaré不等式以及Harnack不等式。
• 在Sasakian框架下，为Bonnet-Myers型定理与Laplacian比较定理提供新证明。

提出的方法

• 通过在子黎曼框架下沿测地线解的矩阵Riccati型方程的行为，基于比较论证验证度量收缩性质 $MCP(0,N)$。
• 分析依赖于Tanaka-Webster曲率的结构以及Sasakian流形上相关的Jacobi场方程，特别是Jacobi方程的第二对称幂。
• 通过参数变易法构造由Riccati系统导出的三阶线性常微分方程的特解，并分析其在 $t=0$ 附近的渐近行为以确立非退化性。
• 证明表示度量球第二基本形式的矩阵 $Sr(t)$ 有正定矩阵下界，从而推出 $MCP(0,N)$ 条件。
• 通过证明当 $\epsilon \to 0$ 时，$MCP(0,N)$ 条件在Riemann近似 $\langle \cdot, \cdot \rangle^\epsilon$ 的极限下保持不变，将方法推广至Riemann近似。
• 关键步骤包括分析 $Sr_{11}(t)$ 在 $t \to t_0$ 时的爆破行为，其中 $t_0$ 是满足 $m(t_0) = 0$ 的首次时刻，以排除共轭点并确保比较的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋予子黎曼度量与庞普测度时，具有非负Tanaka-Webster Ricci曲率的Sasakian流形是否满足度量收缩性质 $MCP(0,N)$？
• RQ2 能否将 $MCP(0,N)$ 条件从子黎曼度量推广至一类扩展子黎曼结构的单参数Riemann度量族？
• RQ3 在Sasakian框架下，$MCP(0,N)$ 条件会导出哪些几何与分析性后果？
• RQ4 能否从该框架下的 $MCP(0,N)$ 条件推导出Laplacian比较定理与Bonnet-Myers型定理？
• RQ5 Jacobi方程及其第二对称幂的结构如何与子黎曼几何中的曲率估计相关联？

主要发现

• 在具有非负Tanaka-Webster Ricci曲率的Sasakian流形上，度量测度空间 $(M, d_S, \text{vol})$ 满足 $MCP(0,N)$，其中 $N$ 为某正整数。
• $MCP(0,N)$ 条件蕴含Doubling性质：$\text{vol}(B_x(2r)) / \text{vol}(B_x(r))$ 有统一有界性。
• 由Doubling性质与 $MCP(0,N)$ 可推出所有 $p \geq 2$ 的 $L^p$-Poincaré不等式。
• 通过Doubling与Poincaré条件，建立了子椭圆热方程的抛物型Harnack不等式与热核估计。
• 作为Doubling、Poincaré及度量测度空间中已知结果的推论，具有固定次数多项式增长的调和函数空间是有限维的。
• Laplacian比较定理成立，其蕴含子椭圆热方程的局部微分型Harnack不等式，优于先前工作的全局结果。