[论文解读] Ricci curvature of submanifolds in locally conformal almost cosymplectic manifolds

Tripathi, Mukut Mani, Kim, Jeong-Sik+1 more|ArXiv.org|Jul 2, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 6

一句话总结

本文建立了关于局部共形几乎殆复辛流形中子流形的内在曲率不变量——标量曲率、里奇曲率和 $k$-里奇曲率——与外在平方平均曲率之间的精确不等式，该流形具有点态常数 $φ$-截面曲率。关键结果是 $ \|H\|^2$ 的通用下界，以曲率不变量和几何数据表示，当且仅当子流形为全脐时取等，将已知的陈型不等式推广至这一类几乎接触度量流形。

ABSTRACT

We obtain certain inequalities involving several intrinsic invariants namely scalar curvature, Ricci curvature and $k$-Ricci curvature, and main extrinsic invariant namely squared mean curvature for submanifolds in a locally conformal almost cosymplectic manifold with pointwise constant $% ϕ$-sectional curvature. Applying these inequalities we obtain several inequalities for slant, invariant, anti-invariant and {\em CR}-submanifolds. The equality cases are also discussed.

研究动机与目标

• 建立局部共形几乎殆复辛流形中子流形的内在-外在曲率不等式。
• 将已知的陈型不等式推广至具有点态常数 $φ$-截面曲率的局部共形几乎殆复辛流形。
• 分析这些不等式的等号成立条件，并刻画子流形为全脐的几何特征。
• 利用一般曲率界推导出斜子流形、不变子流形、反不变子流形和CR-子流形的特定不等式。
• 研究此几何设定下 $k$-里奇曲率与平方平均曲率之间的关系。

提出的方法

• 使用或内正交标架技术，推导包含标量曲率 $\tau$、$c-3f^2$、$\|P\|^2$ 和 $f'$ 的 $\|H\|^2$ 的一般不等式。
• 通过标量曲率的 $k$-平面截面分解，将 $\theta_k(p)$ 与 $k$-维子空间上的平均里奇曲率关联起来。
• 应用恒等式 $n^2\|H\|^2 = \sum a_i^2 + \sum_{r} \sum_{i,j} (h_{ij}^r)^2 + \text{曲率项}$ 来界定平方平均曲率。
• 利用具有点态常数 $φ$-截面曲率的流形中曲率张量的结构，将曲率项表示为 $c$、$f^2$ 和 $f'$ 的形式。
• 沿平均曲率向量对形状算子 $A_{n+1}$ 进行对角化，以简化 $\|H\|^2$ 的表达式，从而能够应用特征值上的不等式。
• 应用恒等式 $\sum_{i<j}(a_i - a_j)^2 \geq 0$ 推导 $\sum a_i^2$ 的下界，该下界以 $\|H\|^2$ 表示，从而得到最终不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有点态常数 $φ$-截面曲率的局部共形几乎殆复辛流形中，子流形的平方平均曲率 $\|H\|^2$ 的最优下界是什么？
• RQ2 在所推导的曲率不等式中，等号在何种几何条件下成立，这又对子流形的几何结构意味着什么？
• RQ3 在这些子流形中，$k$-里奇曲率与标量曲率如何与平方平均曲率相关联？
• RQ4 在该类流形中，斜子流形、不变子流形、反不变子流形和CR-子流形的特定曲率界是什么？
• RQ5 相对核空间与张量 $P$ 如何影响曲率不等式？

主要发现

• 平方平均曲率满足 $\|H\|^2 \geq \frac{2\tau}{n(n-1)} - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3\|P\|^2(c+f^2)}{4n(n-1)} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$，当且仅当子流形为全脐时取等。
• 对任意满足 $2 \leq k \leq n$ 的 $k$，不等式 $\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3\|P\|^2(c+f^2)}{4n(n-1)} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ 成立，其中 $\theta_k$ 为 $k$-里奇曲率。
• 对于 $\theta$-斜子流形，该界变为 $\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3(c+f^2)\cos^2\theta}{4n} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$。
• 对于不变子流形，该界为 $\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3(c+f^2)}{4n} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$。
• 对于反不变子流形，该界简化为 $\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$，反映出 $P$-项的缺失。
• 对于满足 $2h = \dim(\mathcal{D})$ 的CR-子流形，该界为 $\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{6h(c+f^2)}{4n(n-1)} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$，其中包含了全纯分布的维数。