[论文解读] Ricci-flat deformations of asymptotically cylindrical Calabi--Yau manifolds

Alexei Kovalev|ArXiv.org|Dec 22, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文将柯伊索关于 Ricci 平坦 Kähler 度量的形变理论推广至渐近圆柱状 Calabi–Yau 流形，证明在复结构扰动下局部 Ricci 平坦形变仍保持 Kähler 性，并通过对数上同调计算模空间维数。在该设定下，规范群约化至 SU(n) 被证明是一个开条件。

ABSTRACT

We study a class of asymptotically cylindrical Ricci-flat Kähler metrics arising on quasiprojective manifolds. Using the Calabi--Yau geometry and analysis and the Kodaira--Kuranishi--Spencer theory and building up on results of N.Koiso for the case of compact manifolds, we show that under rather general hypotheses any `small' asymptotically cylindrical Ricci-flat deformations of asymptotically cylindrical Ricci-flat Kähler metrics are again Kähler, possibly with respect to a perturbed complex structure. We also find the dimension of the moduli space for these small deformations. In the class of asymptotically cylindrical Ricci-flat metrics on $2n$-manifolds, the holonomy reduction to SU(n) is an open condition.

研究动机与目标

• 将柯伊索关于 Ricci 平坦 Kähler 度量的形变理论推广至非紧致、渐近圆柱状的 Calabi–Yau 流形。
• 建立此类度量的局部 Ricci 平坦形变在复结构扰动下仍保持 Kähler 性。
• 利用对数层上同调计算渐近圆柱状 Ricci 平坦形变的模空间维数。
• 证明在渐近圆柱状 Ricci 平坦度量的模空间中，规范群约化至 SU(n) 是一个开条件。

提出的方法

• 通过使用对数层上同调，将 Kodaira–Spencer–Kuranishi 理论适配至非紧致、渐近圆柱状复流形。
• 应用渐近圆柱状流形的 Hodge 理论与椭圆理论，分析调和形式与形变障碍。
• 通过在无穷远处添加一个除子来紧化流形，将几何与对数微分形式联系起来。
• 使用 Weitzenböck 公式证明 Ricci 平坦 Kähler 流形上有界的调和 (2,0)-形式是平行的。
• 分析与无穷远处除子的法丛相关的上同调长正合列，以计算形变空间的维数。
• 应用 Kodaira 无扭定理与 Serre 对偶性，验证可紧化形变的无阻碍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复结构扰动下，渐近圆柱状 Calabi–Yau 度量的局部 Ricci 平坦形变是否必然保持 Kähler 性？
• RQ2 此类流形的渐近圆柱状 Ricci 平坦形变模空间的维数是多少？
• RQ3 在渐近圆柱状 Ricci 平坦度量的模空间中，规范群约化至 SU(n) 是否为一个开条件？
• RQ4 对数上同调群如何控制这些非紧致 Calabi–Yau 流形的形变理论？
• RQ5 在何种条件下，流形的可紧化形变是无阻碍的？

主要发现

• 任何渐近圆柱状 Calabi–Yau 度量的局部 Ricci 平坦形变在复结构扰动下仍保持 Kähler 性，可能对应于一个扰动后的复结构。
• 渐近圆柱状 Ricci 平坦形变的模空间维数为 $ 2\dim_{\mathbb{C}}H^{1}(T_{W}(\log D)) + b^{2}(W) + b^{2}_{c}(W) - b^{2}_{0}(W) - 1 $，并在具体例子中给出了显式计算。
• 对于一个单连通的 Calabi–Yau 曲面，其上带有有理曲线除子时，模空间维数为 29，源于 $ \dim_{\mathbb{C}}H^{1}(T_{S}(\log\tilde{C})) = 10 $ 且形变无阻碍。
• 在将 Fano 三空间沿光滑曲线进行爆破的情形下，模空间维数为 $ b^{3}(V) + 2g(V) - \rho(V) + 40 $，其中 $ g(V) = -K_{V}^{3}/2 + 1 $。
• 在某些 Ricci 平坦 Kähler 三空间上，若不存在有界调和 (2,0)-形式，则意味着不存在平行的全纯 2-形式，与规范群 $ SU(3) $ 一致。
• 当 $ H^{2}(T_{\overline{W}}) = 0 $ 且 $ H^{1}(N_{D/\overline{W}}) = 0 $ 时，可紧化形变是无阻碍的，该条件通过 Kodaira 无扭定理与 Serre 对偶性得以验证。