[论文解读] Ricci flat Kahler metrics with edge singularities

Simon Brendle|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 24

一句话总结

本文通过连续法和加权索伯列夫估计，在紧致凯勒流形中沿光滑复超曲面构造了具有边缘奇点的里奇平坦凯勒度量。关键结果在条件 $ c_1(M) = (1 - \beta)c_1(\Lambda) $ 下建立存在性，其中 $ \beta \in (0, \frac{1}{2}) $，得到具有有界曲率且与背景度量一致等价的度量。

ABSTRACT

We construct Ricci flat Kahler metrics with cone singularities along a complex hypersurface. This construction is inspired in part by R. Mazzeo's program in the case of negative Einstein constant, and uses the linear theory developed recently by S. Donaldson.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形中沿光滑复超曲面建立具有边缘奇点的里奇平坦凯勒度量的存在性。
• 将连续法推广至具有圆锥型行为的奇异背景度量，利用唐纳森的线性理论。
• 在加权 Hölder 空间中证明复蒙日-安培方程的统一 $ C^0 $、拉普拉斯算子和三阶导数估计。
• 证明所得度量具有有界曲率且与背景度量一致等价。
• 在上同调条件 $ c_1(M) = (1 - \beta)c_1(\Lambda) $ 下解决存在性问题，推广田-俞类型构造。

提出的方法

• 使用背景度量 $ \omega = \omega_0 + \lambda \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}(|s|_h^{2\beta}) $，其沿 $ \Sigma $ 具有边缘奇点，该度量由全纯截面 $ s $ 和线丛度量 $ h $ 构造而成。
• 对复蒙日-安培方程 $ (\omega + \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}u)^n = e^{tF - c} \omega^n $ 应用连续法，插值从 $ t = 0 $ 到 $ t = 1 $。
• 在加权 Hölder 空间 $ \mathcal{C}^{2,\alpha,\beta} $ 中应用唐纳森的施瓦茨估计，以控制在奇点集 $ \Sigma $ 附近的正则性。
• 通过杰弗雷斯的最大值原理技巧，将余晓的拉普拉斯算子和曲率估计方法适配于奇异背景度量。
• 推导 $ u $ 的三阶协变导数在 $ \Sigma $ 附近的渐近行为，依赖附录 A 中的关键辅助估计。
• 通过与模型度量比较及局部坐标中的分布分析，建立 $ C^0 $、拉普拉斯算子和 $ C^2 $-型估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种上同调条件下，流形 $ M \setminus \Sigma $ 上存在具有边缘奇点的里奇平坦凯勒度量？
• RQ2 连续法能否推广至具有角度为 $ 2\pi(1 - \beta) $ 的圆锥奇点的奇异背景度量？
• RQ3 解 $ u $ 及其导数在奇点除子 $ \Sigma $ 附近的精确渐近行为是什么？
• RQ4 在边缘奇点度量下，曲率估计如何表现，能否建立有界性？
• RQ5 在奇点存在的情况下，最大值原理是否可用于推导一致估计？

主要发现

• 在 $ \beta \in (0, \frac{1}{2}) $ 条件下，由 $ c_1(M) = (1 - \beta)c_1(\Lambda) $ 保证，流形 $ M \setminus \Sigma $ 上存在里奇平坦凯勒度量 $ \hat{\omega} = \omega + \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}u $。
• 解 $ u \in \mathcal{C}^{2,\alpha,\beta} $ 满足一致 $ C^0 $-估计：$ \sup_M u - \inf_M u \leq C $。
• 度量 $ \hat{\omega} $ 与背景度量 $ \omega $ 一致等价，即存在正常数 $ a_1, a_2 > 0 $，使得 $ a_1 \omega \leq \hat{\omega} \leq a_2 \omega $。
• 度量 $ \hat{\omega} $ 的曲率张量有界：$ |\hat{R}|_{\hat{g}} = O(1) $，且点态衰减满足 $ |DR|_g \leq C |\zeta|^{\varepsilon - \beta} $，其中 $ \varepsilon > 0 $。
• 在 $ \Sigma $ 附近，$ u $ 的三阶协变导数满足 $ |\partial\bar{\partial}u|_{\nabla} = O(|\zeta|^{\alpha\beta}) $，确保在加权 Hölder 范数下的正则性。
• 方程 $ (\omega + \sqrt{-1} \partial\bar{\partial}u)^n = e^{F - c} \omega^n $ 在 $ \mathcal{C}^{2,\alpha,\beta} $ 中有解，从而完成连续法。