[论文解读] Ricci flat left invariant Lorentzian metrics on 2-step nilpotent Lie groups

Mohamed Boucetta|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文分类了单连通的2步幂零李群上具有里奇平坦性的左不变洛伦兹度量，证明了(2k+1)维的海森堡群$H_{2k+1}$存在此类度量当且仅当$k=1$。此外，还表明当$2 \leq q \leq k$时，$H_{2k+1}$具有签名$(q, 2k+1-q)$的里奇平坦伪黎曼度量，提供了显式构造，并通过曲率公式和结构常数的代数约束刻画了所有此类度量。

ABSTRACT

We determine all Ricci flat left invariant Lorentzian metrics on simply connected 2-step nilpotent Lie groups. We show that the $2k+1$-dimensional Heisenberg Lie group $H_{2k+1}$ carries a Ricci flat left invariant Lorentzian metric if and only if $k=1$. We show also that for any $2\leq q\leq k$, $H_{2k+1}$ carries a Ricci flat left invariant pseudo-Riemannian metric of signature $(q,2k+1-q)$ and we give explicite examples of such metrics.

研究动机与目标

• 确定单连通2步幂零李群上所有里奇平坦左不变洛伦兹度量。
• 解决关于这些群在洛伦兹和一般签名情形下分类里奇平坦伪黎曼度量的开放问题。
• 为海森堡群$H_{2k+1}$等提供此类度量的显式构造，并刻画其存在条件。
• 建立2步幂零李代数的关键曲率公式，以实现对里奇平坦性的系统分析。

提出的方法

• 利用结构常数和反对称自同态，推导出2步幂零李代数上伪黎曼度量的里奇曲率的一般公式。
• 利用伪欧几里得空间上反对称自同态的李代数分析度量的曲率性质。
• 通过规范基分解，将度量及其曲率分量表示为标准正交向量和类零向量的形式。
• 通过将里奇曲率张量设为零，施加里奇平坦性条件，从而在结构常数上导出一组代数方程。
• 对海森堡群$H_{2k+1}$求解该方程组，以确定里奇平坦洛伦兹度量和更高签名度量的存在条件。
• 为$k \geq 2$构造$H_{2k+1}$上签名$(q, 2k+1-q)$的里奇平坦度量的显式例子，其中$2 \leq q \leq k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些2步幂零李群存在里奇平坦左不变洛伦兹度量？
• RQ2 在$(2k+1)$维的海森堡群$H_{2k+1}$中，是否存在里奇平坦左不变洛伦兹度量？若存在，对哪些$k$值成立？
• RQ3 能否在$H_{2k+1}$上构造里奇平坦左不变伪黎曼度量，其签名为$(q, 2k+1-q)$，其中$2 \leq q \leq k$？其显式形式为何？
• RQ4 2步幂零李代数的结构常数需满足何种代数条件，才能使其左不变伪黎曼度量具有里奇平坦性？

主要发现

• 3维海森堡群$H_3$是唯一存在里奇平坦左不变洛伦兹度量的海森堡群$H_{2k+1}$，对应于$k=1$。
• 当$k \geq 2$时，群$H_{2k+1}$不存在任何里奇平坦左不变洛伦兹度量。
• 对任意$2 \leq q \leq k$，群$H_{2k+1}$均存在里奇平坦左不变伪黎曼度量，其签名为$(q, 2k+1-q)$，并提供了显式构造。
• 此类度量的存在性由里奇曲率公式导出的一组代数方程所决定，这些方程在所述$q$和$k$条件下恰好可解。
• 所有单连通2步幂零李群上里奇平坦左不变洛伦兹度量均已完全分类，其中3维情况下唯一满足条件的群为海森堡群$H_3$。
• 本文提供了以坐标和结构常数表示的度量分量的显式公式，包括涉及$\bar{t}$、$v_i$和$w_j$的非平凡交叉项。