[论文解读] Ricci flow and contractibility of spaces of metrics

Richard H. Bamler, Bruce Kleiner|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 21

一句话总结

本文证明了任意闭3-流形上正标量曲率度量的空间要么为空，要么是可缩的，且任意3维球面型空间形式的微分同胚群形变收缩到其等距群，从而证明了广义Smale猜想。作者采用一种新颖的几何方法，基于一族奇异Ricci流来构造度量的连续形变，避免依赖于Hatcher定理等先前的拓扑结果（如对$S^3$的情形）。关键贡献是通过Ricci流穿越奇点，提出了一种基于流的新方法来证明Smale猜想。

ABSTRACT

We show that the space of metrics of positive scalar curvature on any 3-manifold is either empty or contractible. Second, we show that the diffeomorphism group of every 3-dimensional spherical space form deformation retracts to its isometry group. This proves the Generalized Smale Conjecture. Our argument is independent of Hatcher's theorem in the $S^3$ case and in particular it gives a new proof of the $S^3$ case.

研究动机与目标

• 证明任意闭3-流形上正标量曲率（PSC）度量的空间要么为空，要么是可缩的。
• 通过证明任意3维球面型空间形式的微分同胚群形变收缩到其等距群，确立广义Smale猜想。
• 开发一种基于奇异Ricci流族的新几何方法，以产生不依赖于先前拓扑技术的度量连续形变。
• 提供一种不依赖于Hatcher关于$\mathbb{R}^3$中嵌入2-球面可缩性的工作的$S^3$上Smale猜想的新证明。
• 将Ricci流技术的应用范围扩展到关于度量空间与微分同胚群的全局拓扑问题。

提出的方法

• 作者构建了一种修圆过程，将度量族转化为具有受控几何结构的奇异Ricci流族。
• 他们采用一种新颖技术，通过奇异Ricci流演化度量族，产生部分同伦，同时保持拓扑结构。
• 关键步骤是通过连续流族将度量族形变趋同共形平坦度量，利用共形因子的连续族存在性。
• 该方法依赖于在奇点存在下Ricci流带手术解的存在性与唯一性，此结果源自先前工作。
• 作者应用基于从球面到圆盘扩张映射的拓扑论证，证明某些度量空间是可缩的。
• 他们利用3-流形上共形平坦度量空间在配备连续共形因子族时是可缩的这一事实，从而实现零伦同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭3-流形上正标量曲率度量的空间是否在非空时总是可缩的？
• RQ2 广义Smale猜想能否通过几何流而非经典拓扑方法来证明？
• RQ3 3维球面型空间形式的微分同胚群是否形变收缩到其等距群？
• RQ4 能否利用Ricci流穿越奇点来构造度量族的连续同伦？
• RQ5 是否存在一种基于流的方法来证明$S^3$上的Smale猜想，且不依赖于Hatcher关于嵌入球面的定理？

主要发现

• 任意闭、可定向3-流形$M$上正标量曲率度量的空间$\operatorname{Met}_{PSC}(M)$要么为空，要么是可缩的。
• 局部微分同胚于$S^3$或$S^2 \times \mathbb{R}$的度量空间$\operatorname{Met}_{CC}(M)$要么为空，要么是可缩的。
• 任意3维球面型空间形式的等距群到其微分同胚群的包含映射是同伦等价，从而证明了广义Smale猜想。
• 该证明独立于Hatcher对$S^3$情形的工作，提供了Smale猜想的一个全新、基于流的证明。
• 该方法可统一应用于所有球面型空间形式，包括$\mathbb{R}P^3$，而此前的Ricci流方法曾将其排除在外。
• 作者证明了$S^2 \times S^1$上球面结构的空间是可缩的，从而推出微分同胚群与其保持标准结构的子群之间存在同伦等价。