[论文解读] Ricci flow on singular manifolds

Boris Vertman|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文在具有边缘奇点且里奇曲率有界的不完备黎曼流形上建立了里奇流的局部存在性与长时间存在性，证明了里奇曲率张量有界及度量族的正则性。分析依赖于李希纳罗维奇拉普拉斯算子与里奇-德图尔克流，将结果推广至初始度量接近里奇平坦边缘度量的孤立锥形奇点空间。

ABSTRACT

In this paper we prove local existence of a Ricci flow starting at an incomplete manifold with edge singularities and bounded Ricci curvature, flowing for a short time within a class of incomplete edge manifolds. We derive regularity properties for the corresponding family of Riemannian metrics and establish boundedness of the Riemannian curvature tensor along the flow. For Riemannian metrics that are sufficiently close to a Ricci flat incomplete edge metric, we prove long time existence of the Ricci flow. Our results in particular include the case of spaces with isolated conical singularities. The proof works by a careful analysis of the Lichnerowicz Laplacian and the Ricci de Turck flow equation.

研究动机与目标

• 在具有边缘奇点且里奇曲率有界的不完备流形上建立里奇流的存在性。
• 分析演化黎曼度量的正则性，并证明在流演化过程中里奇曲率张量的有界性。
• 当初始度量足够接近里奇平坦不完备边缘度量时，将存在性结果推广至长时间流。
• 将孤立锥形奇点作为边缘奇点的特例包含在内。
• 通过里奇-德图尔克方程与李希纳罗维奇拉普拉斯算子，为奇异空间上的几何流提供严谨的理论框架。

提出的方法

• 利用里奇-德图尔克流将里奇流方程转化为具有明确定义初值问题的拟线性抛物系统。
• 分析不完备边缘流形上的李希纳罗维奇拉普拉斯算子，以控制线性化里奇算子并确保可解性。
• 为线性化算子建立加权索伯列夫估计，以处理奇点结构并维持正则性。
• 在加权 Hölder 空间中应用最大正则性理论，证明流的短时存在性与光滑性。
• 通过扰动论证，当初始度量接近里奇平坦边缘度量时，将流的定义域扩展至更长时间。
• 利用里奇曲率的有界性与抛物正则性，推导出流过程中里奇曲率张量的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有边缘奇点且里奇曲率有界的不完备黎曼流形上启动里奇流？
• RQ2 在存在边缘奇点的情况下，演化黎曼度量的正则性特征是什么？
• RQ3 在这些奇异流形上，里奇曲率张量是否沿里奇流保持一致有界？
• RQ4 在何种条件下，里奇流在不完备边缘流形上可存在长时间？
• RQ5 锥形奇点如何影响里奇流的存在性与正则性？能否将其视为边缘奇点的特例？

主要发现

• 在具有边缘奇点且里奇曲率有界的不完备流形上，已确立里奇流的局部存在性，且流保持在不完备边缘流形的类中。
• 在流演化过程中，里奇曲率张量始终保持一致有界，确保了几何演化的可控性。
• 演化的黎曼度量展现出与底层边缘结构一致的正则性特征，并与初始曲率有界性相容。
• 当初始度量足够接近里奇平坦不完备边缘度量时，里奇流可存在所有时间。
• 结果将孤立锥形奇点作为边缘奇点的特例包含在内。
• 李希纳罗维奇拉普拉斯算子与里奇-德图尔克方程的分析构成了所有存在性与正则性结果的核心技术基础。