[论文解读] Ricci iterations and canonical Kähler-Einstein currents on log canonical pairs

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文通过Ricci迭代和Bergman核的动力系统，从Kawamata对数终端（KLT）对的典范Kähler-Einstein势的极限出发，构造了对数一般型对数极小（LC）对上的典范Kähler-Einstein势。关键结果是首次在一般维数下证明了LC对族的相对对数典范丛的半正性定理，表明典范测度定义了一个具有半正曲率势的奇异Hermitian度量。

ABSTRACT

In this article we construct a canonical Kähler-Einstein current on a LC (log canonical) pairs of log general type as the limit of a sequence of canonical Kähler-Einstein currents on KLT(Kawamata log terminal) pairs of log general type. We call the volume form associated with the canonical Kähler-Einstein current the canonical measure of the LC pair. We prove that the relative canonical measure on a projective family of LC pairs of log general type defines a singular hermitian metric on the relative log canonical bundle and the metric has semipositive curvature in the sense of current. This is the first semipositivity result for relative log canonical bundles of a family of LC pairs in general dimension. Our proof depends on certain Ricci iterations and dynamical systems of Bergman kernels.

研究动机与目标

• 将典范极小化极化代数簇上的典范Kähler-Einstein度量构造方法推广到对数一般型对数极小对。
• 为LC对建立一种微分几何方法，这些对由于vanishing定理的失效而超出了经典Hodge理论的适用范围。
• 证明LC对族中相对典范测度的对数次调和性与半正性，将Kawamata的半正性结果推广到奇异情形。
• 为LC对族的相对对数典范丛提供一个具有半正曲率的典范度量，这对模问题至关重要。

提出的方法

• 使用Ricci迭代在逼近LC对的KLT对上构造一系列Kähler-Einstein势。
• 应用Bergman核的动力系统，为对数一般型的KLT对生成典范Kähler-Einstein势。
• 取这些势的极限，得到LC对上的典范Kähler-Einstein势。
• 将典范测度定义为LC对上极限Kähler-Einstein势的体积形式。
• 证明相对典范测度在相对对数典范丛上定义了一个奇异Hermitian度量，且其曲率势在当前意义下为半正。
• 利用$L^2$-扩张定理和一个ample Hermitian线丛的选择，证明直接像的全局生成性，从而支持半正性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在对数一般型对数极小对上构造典范Kähler-Einstein势，从而将已知的KLT对结果推广？
• RQ2 LC对上的典范测度是否在族的相对对数典范丛上诱导出一个具有半正曲率的奇异Hermitian度量？
• RQ3 Ricci迭代和Bergman核的动力系统能否用于弥合KLT对与LC对在Kähler-Einstein度量背景下的差距？
• RQ4 LC对族中相对典范测度是否为对数次调和函数？
• RQ5 能否使用微分几何方法在一般维数下证明LC对族中相对典范丛直接像的半正性？

主要发现

• 对数一般型对数极小对上的典范Kähler-Einstein势作为Ricci迭代下KLT对上典范Kähler-Einstein势的极限而存在。
• 典范Kähler-Einstein势的体积形式在LC对上定义了典范测度。
• 在LC对族的射影族中，相对典范测度在相对对数典范丛上定义了一个奇异Hermitian度量，其曲率势在当前意义下为半正。
• 这是首次在一般维数下对LC对族的相对典范丛直接像的半正性结果。
• 该构造依赖于Ricci迭代和Bergman核的动力系统，从而实现了一种超越Hodge理论的微分几何方法。
• 证明使用了$L^2$-扩张定理和ample Hermitian线丛的选择，以建立直接像的全局生成性，从而支持半正性断言。