[论文解读] Ricci solitons on Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds

Shyamal Kumar Hui, Richard S. Lemence+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文研究了在不同曲率张量（共形、投影、$W_3$、共协恒、共形）下为里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形上的里奇孤立子。在每种情况下推导出函数$L_S$的显式表达式，并确定了决定里奇孤立子为收缩、平稳或扩张的关键值。在三维情况下，构造了共形曲率情形的具体例子。

ABSTRACT

The object of the present paper is to study some types of Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds whose metric is Ricci soliton. We found the conditions when Ricci soliton on concircular Ricci pseudosymmetric, projective Ricci pseudosymmetric, $W_{3}$-Ricci pseudosymmetric, conharmonic Ricci pseudosymmetric, conformal Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds to be shrinking, steady and expanding. We also construct an example of concircular Ricci pseudosymmetric $(LCS)_3$-manifold whose metric is Ricci soliton.

研究动机与目标

• 研究在不同曲率张量下为里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形上的里奇孤立子。
• 确定此类里奇孤立子为收缩、平稳或扩张的条件。
• 为每种里奇伪对称类型推导出相关函数$L_S$的显式表达式。
• 构造一个支持里奇孤立子的共形里奇伪对称$(LCS)_3$-流形的具体例子。
• 识别每种基于曲率的里奇伪对称$(LCS)_n$-流形中决定孤立子类型的$L_S$临界值。

提出的方法

• 通过条件$(R(X,Y)\cdot S)(Z,U) = L_S \cdot Q(g,S)(Z,U;X,Y)$在$S \neq \frac{r}{n}g$的集合上定义里奇伪对称性。
• 将里奇孤立子条件$\mathcal{L}_V g + 2S + 2\lambda g = 0$应用于$(LCS)_n$-流形结构。
• 利用$(LCS)_n$-流形的几何性质，包括共形向量场$P$、1-形式$\eta$以及相关函数$\alpha$、$\rho$和$\lambda$。
• 计算每种曲率张量（共形、投影、$W_3$、共协恒、共形）对里奇张量的作用，并通过张量恒等式推导$L_S$表达式。
• 利用推导出的$L_S$表达式分析$\lambda$的符号，该符号决定孤立子类型（收缩、平稳、扩张）。
• 构造一个三维共形里奇伪对称$(LCS)_3$-流形的具体例子，其上存在里奇孤立子，以验证定理3.1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在共形里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形上，里奇孤立子在何种条件下为收缩、平稳或扩张？
• RQ2 在$(LCS)_n$-流形中，函数$L_S$在不同类型的里奇伪对称（投影、$W_3$、共协恒、共形）下如何变化？
• RQ3 在每种基于曲率的里奇伪对称$(LCS)_n$-流形中，决定孤立子类型的$L_S$临界值是什么？
• RQ4 能否显式构造一个具有里奇孤立子度量的共形里奇伪对称$(LCS)_3$-流形的具体例子？
• RQ5 几何不变量$\alpha$、$\rho$和$n$如何影响这些流形中里奇孤立子的分类？

主要发现

• 对于共形里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形，$L_S = (\alpha^2 - \rho) + \frac{\lambda}{n-1} + \frac{\alpha}{n}$，且当$L_S < \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$、$= \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$或$> \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$时，孤立子分别为收缩、平稳或扩张。
• 在投影里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形中，$L_S = \left(1 + \frac{2\lambda}{\alpha}\right)(\alpha^2 - \rho)$，且当$\alpha > \alpha^2 - \rho$时，$L_S$的临界值为$\alpha^2 - \rho$。
• 对于$W_3$-里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形，$L_S = \left(1 + \frac{2\lambda}{\alpha}\right)(\alpha^2 - \rho) - \frac{\alpha + \lambda}{n-1}$，临界值为$\alpha^2 - \rho - \frac{\alpha}{n-1}$，当$\frac{(n-1)\alpha}{2(n-1)(\alpha^2) - \alpha} > 0$时成立。
• 在共协恒里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形中，$L_S = \frac{\alpha + 2\lambda}{n-2} - (\alpha^2 - \rho)$，临界值为$\frac{\alpha}{n-2} - (\alpha^2 - \rho)$。
• 对于共形里奇伪对称的$(LCS)_n$-流形，$L_S = \frac{\lambda}{n-1} - (\alpha^2 - \rho)$，临界值为$-(\alpha^2 - \rho)$，此时当$L_S < -(\alpha^2 - \rho)$、$= -(\alpha^2 - \rho)$或$> -(\alpha^2 - \rho)$时，$\lambda$分别小于0、等于0或大于0。
• 显式构造了一个具有里奇孤立子度量的共形里奇伪对称$(LCS)_3$-流形的具体例子，验证了定理3.1，并确认了推导出的$L_S$表达式及孤立子类型分类。