[论文解读] Ridgelet transform on the sphere

Jason D. McEwen|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 51被引用 10

一句话总结

本文通过结合球面上的球面Radon变换与尺度离散化小波变换，提出了一种新颖的球面脊波变换，能够对具有对跖对称性的信号实现精确反演。该方法提供了一种全局支撑、无块状伪影的表示，且具有显式反演，其在所有关键设计标准上均优于现有的球面脊波变换构造。

ABSTRACT

We first revisit the spherical Radon transform, also called the Funk-Radon transform, viewing it as an axisymmetric convolution on the sphere. Viewing the spherical Radon transform in this manner leads to a straightforward derivation of its spherical harmonic representation, from which we show the spherical Radon transform can be inverted exactly for signals exhibiting antipodal symmetry. We then construct a spherical ridgelet transform by composing the spherical Radon and scale-discretised wavelet transforms on the sphere. The resulting spherical ridgelet transform also admits exact inversion for antipodal signals. The restriction to antipodal signals is expected since the spherical Radon and ridgelet transforms themselves result in signals that exhibit antipodal symmetry. Our ridgelet transform is defined natively on the sphere, probes signal content globally along great circles, does not exhibit blocking artefacts, does not rely of any ad hoc parameters and exhibits an explicit inverse transform. No alternative ridgelet construction on the sphere satisfies all of these properties. Our implementation of the spherical Radon and ridgelet transforms is made publicly available. Finally, we illustrate the effectiveness of spherical ridgelets for diffusion magnetic resonance imaging of white matter fibers in the brain.

研究动机与目标

• 开发一种原生作用于球面的球面脊波变换，无需依赖笛卡尔嵌入。
• 确保对具有对跖对称性的信号实现精确反演，该性质在球面Radon变换与脊波变换中均天然存在。
• 消除块状伪影，并避免在球面上其他脊波变换构造中常见的任意参数。
• 为球面脊波变换提供完整且显式的反变换，以实现可靠信号重建。
• 在医学影像中展示该方法的有效性，特别是在脑白质纤维扩散MRI中的应用。

提出的方法

• 将球面Radon变换（Funk-Radon变换）重新解释为球面上的轴对称卷积，以推导其球谐表示。
• 通过将球面Radon变换与球面上的尺度离散化小波变换组合，构建球面脊波变换。
• 利用球谐表示显式推导反变换，该反变换仅对具有对跖对称性的信号有效。
• 确保沿大圆对信号内容进行全局探测，从而保持球面上的几何结构。
• 通过公开代码实现数值变换，确保可复现性与可及性。
• 在扩散MRI数据上验证该方法，证明其在捕捉白质纤维取向方面的实用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 球面Radon变换能否被重新解释为轴对称卷积，以实现其球谐表示的更清晰推导？
• RQ2 将球面Radon变换与尺度离散化小波变换组合，是否能生成一种支持对跖信号精确反演的脊波变换？
• RQ3 能否在不依赖笛卡尔嵌入、无块状伪影和任意参数的前提下，构建球面脊波变换？
• RQ4 与现有方法相比，所提出的球面脊波变换在可逆性与几何保真度方面表现如何？
• RQ5 该球面脊波变换在多大程度上可增强扩散MRI中白质纤维结构的分析？

主要发现

• 成功将球面Radon变换重新解释为轴对称卷积，从而可直接推导其球谐表示。
• 球面Radon变换对具有对跖对称性的信号支持精确反演，该性质被所得到的脊波变换继承。
• 所提出的球面脊波变换支持显式反变换，确保对对跖信号实现可靠信号重建。
• 该方法避免了块状伪影，且无需任意参数，与其它球面脊波变换构造形成鲜明区别。
• 实现代码已公开，有利于可复现性，并推动其在球面信号处理中的广泛应用。
• 该方法在建模扩散MRI中白质纤维取向方面表现出色，凸显其实际应用价值。