[论文解读] Riemann-Hilbert Problems with canonical normalization and families of commuting operators

Vladimir S. Gerdjikov|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过具有规范归一化的黎曼-希尔伯特问题（RHP）构造交换微分算子族。利用扎哈罗夫-沙巴特定理并分析一阶与二阶喷射结构，作者推导出新的可积非线性演化方程（NLEEs）类，包括在2+1维空间时间中的具有二次与三次非线性的三波系统，并通过谱结构与哈密顿结构证明其可积性。

ABSTRACT

We start with a Riemann-Hilbert Problems (RHP) with canonical normalization whose sewing functions depends on several additional variables. Using Zakharov-Shabat theorem we are able to construct a family of ordinary differential operators for which the solution of the RHP is a common fundamental analytic solution. This family of operators obviously commute. Thus we are able to construct new classes of integrable nonlinear evolution equations.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用具有规范归一化的黎曼-希尔伯特问题构造交换微分算子环。
• 通过李代数结构将已知可积系统（特别是三波与N波方程）推广至更高维空间时间。
• 提出一种替代逆散射方法的途径，通过具有规范归一化的RHP推导谱分解与孤子解。
• 通过高阶喷射探索具有二次、三次及导数非线性的新型可积非线性演化方程。
• 利用余伴随轨道理论与Kac-Moody代数建立所导出方程的哈密顿结构与可积性。

提出的方法

• 构建一个具有规范归一化的黎曼-希尔伯特问题（RHP），其中解 ξ±(x,t,λ) 在 Im(λ^k) > 0 和 < 0 时关于 λ 解析，并在无穷远处归一化。
• 通过方程 i∂G/∂x_s − λ^k[J_s, G] = 0 和 i∂G/∂t − λ^k[K, G] = 0 强制对辅助变量的特定依赖关系，其中 J_s 与 K 属于卡坦子代数。
• 应用扎哈罗夫-沙巴特定理，证明 RHP 解 ξ±(x,t,λ) 是一族具有矩阵势 U_s 与 V 的线性微分算子 L_s 与 M 的共同基本解析解。
• 从 ξ±(x,t,λ) = exp(Q(x,t,λ)) 的渐近展开中构造 k = 1 与 k = 2 阶喷射，其中 Q = ∑ Q_k(x,t)λ^{-k}，并推导相应的微分算子。
• 利用所得算子 L_s、M 与 N（来自高阶喷射）的交换性，推导出新的可积 NLEEs，包括具有混合非线性的三波系统。
• 应用布丁方法通过求解具有规范归一化的 RHP 构造显式 N 孤子解，避免求解完整的逆问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用具有规范归一化的黎曼-希尔伯特问题生成交换微分算子族？
• RQ2 在 RHP 解展开中，一阶与二阶喷射会产生哪些新型可积非线性演化方程（NLEEs）类？
• RQ3 能否在 2+1 维空间时间中构造并证明具有二次、三次及导数非线性的三波与 N 波方程的可积性？
• RQ4 这些新 NLEEs 的谱性质与哈密顿结构如何与 Kac-Moody 代数的余伴随轨道相关联？
• RQ5 具有规范归一化的 RHP 在多维 NLEEs 求解中，能在多大程度上替代或补充逆散射变换？

主要发现

• sl(3) 的一阶喷射重现了 2+1 维空间时间中的标准三波方程，证实了该方法与已知可积系统的自洽性。
• 二阶喷射导出新的可积三波方程，其具有混合的二次与三次非线性项，以及 x-导数项，存在于 2+1 维空间时间中。
• 所导出的方程被证明为哈密顿型，并可推广至三维空间时间，一般化了已知结果。
• 三个交换算子 L、M 与 N 的系统导致一个耦合的 NLEEs 系统（例如式 35），其中 u1、u2、u3 满足具有特征速度与耦合项的联立演化方程。
• 通过选择更高秩李代数、不同分次结构及 λ^k 中更高的幂次 k，该方法可系统地构造新的可积模型。
• 具有规范归一化的 RHP 允许使用扎哈罗夫-沙巴特布丁方法构造显式 N 孤子解，而无需求解完整的逆问题。