[论文解读] Riemann Integration in the Euclidean Space

Akerele Olofin Segun|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2024

Mathematics and Applications被引用 4

一句话总结

本文通过达布上积分和下积分的方法，严格地将一维欧几里得空间中的黎曼积分推广到n维欧几里得空间。文章建立了划分、上和下和、加细以及可积性准则等基础概念，最终证明了在ℝⁿ中达布积分与黎曼积分的等价性，并展示了如何通过黎曼和来计算定积分。

ABSTRACT

The so-called Riemann sums have their origin in the efforts of Greek mathematicians to find the center of gravity or the volume of a solid body. These researches led to the method of exhaustion, discovered by Archimedes and described using modern ideas by MacLaurin in his extit{Treatise of Fluxions} in 1742. At this times the sums were only a practical method for computing an area under a curve, and the existence of this area was considered geometrically obvious. The method of exhaustion consists in almost covering the space enclosed by the curve with $n$ geometric objects with well-known areas such as rectangles or triangles, and finding the limit (though this topic was very blurry at these early times) when $n$ increases. One of its most remarkable application is squaring the area $\mathcal{A}$ enclosed by a parabola and a line.

研究动机与目标

• 通过达布方法将经典黎曼积分从ℝ推广到ℝⁿ。
• 在高维空间中形式化上达布积分和下达布积分的概念。
• 建立ℝⁿ中达布可积性与黎曼可积性的等价性。
• 通过具体例子展示黎曼和在多维定积分计算中的实用性。
• 为理解多维欧几里得空间中的黎曼积分提供系统性框架。

提出的方法

• 将ℝⁿ中有界区间上的划分定义为将定义域划分为子区间的有限点集。
• 利用函数在子区间上的上确界和下确界引入上达布和与下达布和。
• 建立加细性质：对划分进行加细会增加下和并减少上和。
• 将上黎曼积分和下黎曼积分分别定义为所有划分中上和的下确界与下和的上确界。
• 证明对于任意有界函数，下积分总是小于或等于上积分。
• 利用夹逼定理和错位级数，计算黎曼和的极限，将其与定积分联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将一维空间中达布方法的黎曼积分推广到ℝⁿ？
• RQ2 在高维空间中，什么条件能确保上达布积分与下达布积分相等？
• RQ3 划分的加细如何影响上和与下和的收敛性？
• RQ4 在多维空间中，黎曼和可以通过哪些方式用于计算定积分？
• RQ5 在ℝⁿ中，黎曼和的极限与定积分的值之间存在何种关系？

主要发现

• 对于ℝⁿ中闭区间上的任意有界函数，下达布积分总是小于或等于上达布积分。
• 当且仅当上积分与下积分相等时，达布积分存在，这与黎曼可积性等价。
• 函数f(x) = x²在区间[2,5]上的黎曼和极限收敛于∫₂⁵ x² dx = 39。
• 当n→∞时，黎曼和∑(b−a)/n ⋅ (a + k(b−a)/n)⁻²的极限等于∫ₐᵇ x⁻² dx = 1/a − 1/b。
• 布罗因斯坦积分∫₀^π log(a² + b² − 2ab cos x) dx在b > a时的值为2π log(max{a,b})。
• 布罗因斯坦积分的计算依赖于复数因式分解以及三角函数项乘积的极限，最终结果为π log(c²)，其中c = b/a > 1。