[论文解读] Riemann-Liouville Fractional Einstein Field Equations

Joakim Munkhammar|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文提出了一种使用黎曼-刘维尔分数阶导数替代广义相对论几何表述中整数阶偏导数的爱因斯坦场方程的分数阶推广。该方法得到非局部场方程，在 𝛼=1 时退化为标准爱因斯坦方程，在牛顿极限下导出分数阶泊松方程，并将引力波方程推广为时间分数阶扩散-波动方程，从而建立了一个非局部分数阶引力框架。

ABSTRACT

In this paper we establish a fractional generalization of Einstein field equations based on the Riemann-Liouville fractional generalization of the ordinary differential operator $\partial_μ$. We show some elementary properties and prove that the field equations correspond to the regular Einstein field equations for the fractional order $α= 1$. In addition to this we show that the field theory is inherently non-local in this approach. We also derive the linear field equations and show that they are a generalized version of the time fractional diffusion-wave equation. We show that in the Newtonian limit a fractional version of Poisson's equation for gravity arises. Finally we conclude open problems such as the relation of the non-locality of this theory to quantum field theories and the possible relation to fractional mechanics.

研究动机与目标

• 使用黎曼-刘维尔分数阶导数对广义相对论进行分数阶扩展。
• 研究由于分数阶导数的记忆效应导致的场方程的非局部性质。
• 推导线性化场方程，并展示其与分数阶扩散-波动方程的关系。
• 研究牛顿极限，获得引力的分数阶泊松方程推广形式。
• 探讨该理论中的非局部性与量子场论及分数阶力学之间潜在的联系。

提出的方法

• 使用阶数 𝛼 ∈ (0,1) 的黎曼-刘维尔分数阶导数，替代广义相对论几何表述中的标准偏导数 ∂_μ。
• 通过分数阶导数算子在度量联络中的应用，定义分数阶克里斯托费尔符号和黎曼曲率张量。
• 通过从分数阶黎曼张量构造里奇张量和数量曲率，推导分数阶爱因斯坦场方程。
• 在假设 g_μν = η_μν + h_μν 的条件下对场方程进行线性化，保留 h_μν 的一阶项，得到含源的分数阶波动方程。
• 应用一种分数阶洛伦兹型规范条件，将线性化方程简化为 ∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = (8πG/c⁴) T_μν(γ)。
• 通过假设慢速运动和静态场，进行牛顿近似，利用场方程的 00 分量导出分数阶泊松方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼-刘维尔分数阶导数如何用于推广爱因斯坦场方程中的微分算子？
• RQ2 所得分数阶引力理论中的非局部性本质是什么？即使 𝛼 接近 1 时，这种非局部性是否依然存在？
• RQ3 线性化场方程与已知的分数阶偏微分方程（如时间分数阶扩散-波动方程）有何关联？
• RQ4 分数阶场方程的牛顿极限是否能重现引力的分数阶泊松方程形式？
• RQ5 该理论中的非局部性与量子场论或分数阶力学之间可能存在何种潜在联系？

主要发现

• 当分数阶阶数 𝛼 = 1 时，分数阶场方程退化为标准爱因斯坦场方程，确认了与广义相对论的一致性。
• 由于黎曼-刘维尔分数阶导数的非局部性，该理论本质上是非局部的，其依赖于度量函数的整个历史。
• 在线性化情形下，场方程变为 ∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = (8πG/c⁴) T_μν(γ)，这是一种类似于引力电磁学的广义分数阶波动方程。
• 当应力-能量张量为零时，线性化方程退化为 ∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = 0，这是扩散-波动方程的分数阶推广形式。
• 在牛顿极限下，场方程的 00 分量导出 ∂^γ_i ∂^γ_i ϕ ≈ 4πGρ(γ)，其中 ρ(γ) 为分数阶物质密度的分数阶泊松方程。
• 当 𝛾 = 1 时，分数阶泊松方程退化为经典形式 ∇²ϕ = 4πGρ，确认了正确的经典极限。