[论文解读] Riemann maps in almost complex manifolds

Bernard Coupet, Hervé Gaussier+1 more|ArXiv.org|Jul 25, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 16

一句话总结

本文证明了在标准复结构的小几乎复变形下，单位球中存在不动点圆盘，提出了几乎复流形的黎曼映射类比，并证明了其正则性、沿叶的全纯性以及与（拟）全纯映射的交换性。关键贡献是几乎复几何中微分同胚的边界正则性准则，推广了费弗曼定理，并通过黎曼映射解出了局部等价问题。

ABSTRACT

We prove the existence of stationary discs in the ball for small almost complex deformations of the standard structure. We define a local analogue of the Riemann map and establish its main properties. These constructions are applied to study the local geometry of almost complex manifolds and their morphisms.

研究动机与目标

• 将莱普特的黎曼映射与不动点圆盘理论从可积复几何推广到几乎复流形的设定。
• 在标准复结构的小几乎复变形下，建立单位球中不动点圆盘的存在性。
• 定义局部黎曼映射类比并证明其基本性质：正则性、沿叶的全纯性以及与（拟）全纯映射的兼容性。
• 为严格拟凸几乎复域之间的 $ C^{\frown} $-正则性微分同胚提供一个准则，推广费弗曼定理。
• 通过黎曼映射构造解出几乎复结构的局部全纯等价问题。

提出的方法

• 通过摄动方法和隐函数定理，构造标准几乎复结构 $ J_0 $ 的小 $ C^2 $-变形下单位球 $ \mathbb{B}_n $ 中的不动点圆盘。
• 将局部黎曼映射 $ \Psi_{T_\lambda, v^0} $ 定义为从单位球到域 $ \Omega^\lambda $ 的 $ J $-全纯微分同胚，其构造基于几乎复结构的指标量。
• 证明黎曼映射是 $ C^\infty $-光滑的，沿不动点圆盘形成的叶状结构是全纯的，并且与（拟）全纯映射可交换。
• 将该理论应用于边界正则性问题：若 $ C^1 $ 微分同胚 $ \phi: \bar{D} \to \bar{D}' $ 满足 $ \phi^*(J) $ 为 $ C^\infty $ 且 $ (D', \phi^*(J)) $ 严格拟凸，则 $ \phi $ 为 $ C^\infty $。
• 利用黎曼映射解出局部等价问题：两个几乎复结构局部全纯等价当且仅当其对应的黎曼映射诱导一个 $ J_0 $-线性同构，将指标量彼此映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准复结构的小几乎复变形下，能否在单位球中构造出不动点圆盘？
• RQ2 在几乎复几何中是否存在黎曼映射的局部类比？其正则性与变换性质为何？
• RQ3 是否存在一个 $ C^1 $ 微分同胚在严格拟凸几乎复域之间的边界正则性准则，以推广费弗曼定理？
• RQ4 能否通过黎曼映射构造解出几乎复结构的局部全纯等价问题？
• RQ5 黎曼映射与指标量及底层几乎复结构的几何之间有何关系？

主要发现

• 在标准几乎复结构 $ J_0 $ 的小 $ C^2 $-变形下，单位球中存在不动点圆盘，且它们构成球体的奇异叶状结构。
• 局部黎曼映射是 $ C^\infty $-光滑的，沿叶状结构是全纯的，并且与（拟）全纯映射可交换。
• $ C^1 $ 微分同胚 $ \phi: \bar{D} \to \bar{D}' $ 在严格拟凸几乎复域之间是 $ C^\infty $ 的，当且仅当其拉回结构 $ \phi^*(J) $ 为 $ C^\infty $ 且 $ (D', \phi^*(J)) $ 保持严格拟凸。
• 局部全纯等价问题已解决：两个几乎复结构局部等价当且仅当其黎曼映射诱导一个 $ J_0 $-线性同构，将指标量彼此映射。
• 黎曼映射为几乎复结构提供了完整的局部不变量，可参数化其自同构群，并通过黎曼映射的变换性质解出等价问题。