[论文解读] Riemann-Roch and index formulae in twisted K-theory

Alan L. Carey, Bai‐Ling Wang|ArXiv.org|Sep 26, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文建立了扭变K-理论中的扭变黎曼-罗赫定理与扭变指标公式，为弦理论中D膜提供了几何模型。证明了在B-场存在下，I型与II型弦理论中的D膜电荷分别由扭变KO-理论与扭变K-理论分类，方法是利用由三阶上同调类表示的扭变结构下的扭变几何循环与典范类。

ABSTRACT

In this paper, we establish the Riemann-Roch theorem in twisted K-theory extending our earlier results. As an application, we prove a twisted index formula and show that D-brane charges in Type I and Type II string theory are classified by twisted KO-theory and twisted K-theory respectively in the presence of B-fields as proposed by Witten.

研究动机与目标

• 将黎曼-罗赫定理与指标定理推广至具有非平凡扭变的扭变K-理论设定中。
• 在B-场存在下，利用扭变几何循环为D膜提供几何模型。
• 阐明扭变K-同调的数学结构以及定向扭变的作用。
• 在物理上提出的D膜电荷与数学上的扭变K-理论框架之间建立精确联系。
• 证明在带有B-场的I型与II型弦理论中，D膜电荷分别由扭变KO-理论与扭变K-理论分类。

提出的方法

• 发展了一套扭变几何循环的理论，作为扭变K-同调的Baum-Douglas循环的推广。
• 在扭变K-理论中引入了扭变典范类，使得即使在法丛不具备K-定向性时也能定义上推映射。
• 利用扭变K-理论中的陈示性类，将扭变K-理论类与具有扭变纤维丛系数的上同调联系起来。
• 通过扭变黎曼-罗赫公式，将Atiyah-Singer指标定理框架应用于扭变K-理论。
• 利用定向数据与涉及分类空间的同伦交换图，构造了扭变K-理论中的上推映射。
• 通过扭变指标配对定义D膜电荷为扭变K-理论中的元素，使用主丛gerbe的联络与曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将黎曼-罗赫定理推广至具有非平凡扭变的扭变K-理论？
• RQ2 在B-场存在下，D膜的正确几何模型是什么？它与扭变K-同调有何关系？
• RQ3 D膜电荷在扭变K-理论中的上推映射下如何变换？定向扭变的作用是什么？
• RQ4 Freed-Witten异常消除条件在扭变Spinc结构下的精确数学表述是什么？
• RQ5 Minasian-Moore公式在扭变设定下如何推广？为何扭变指标配对具有非对称性？

主要发现

• 本文建立了扭变黎曼-罗赫公式（定理5.3），将经典的Atiyah-Hirzebruch黎曼-罗赫定理推广至扭变K-理论。
• 在扭变K-理论中构造了一类新的扭变典范类，使得即使在法丛不具备K-定向性时，也能定义上推映射。
• 通过扭变黎曼-罗赫定理推导出扭变指标公式（定理6.1），提供了一个广义分析指标的双线性配对。
• 证明了带有B-场的II型弦理论中D膜电荷由扭变K-理论K0(X, α)分类，电荷由扭变K-类通过扭变典范映射的上推给出。
• 带有B-场的I型弦理论中D膜电荷由扭变KO-理论KO∗(X, α)分类，使用实向量丛与扭变Spin结构。
• 证明了Freed-Witten异常消除条件ι∗[α] + W3(νM) = 0等价于D膜世界体积M上存在扭变Spinc结构，从而保证D膜电荷的良定义性。