[论文解读] Riemann-Roch For Equivariant K-Theory

Amalendu Krishna|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 14

一句话总结

本文通过从完备化等变K-理论到具有有理系数的完备化等变高阶查沃群的陈特征映射，为具有线性代数群作用的光滑代数簇建立了等变黎曼-罗赫同构。关键结果是同构 $\widehat{K^{G}_{i}(X)} \xrightarrow{\widehat{\tau}^{G}_{X}} \widehat{CH^{*}_{G}(X,i)}$，解决了由于表示论障碍导致的朴素等变K-理论与查沃群不匹配的问题。

ABSTRACT

The goal of this paper is to prove the Riemann-Roch isomorphism for the higher equivariant K-theory of varieties with action of a linear algebraic group.

研究动机与目标

• 将布洛赫的非等变黎曼-罗赫同构推广到具有线性代数群作用的光滑代数簇的等变情形。
• 解决朴素等变黎曼-罗赫映射中的障碍，该障碍源于等变K-理论与查沃群之间秩的不匹配（例如，当 $G$ 为阶为 $m$ 的有限群时，$K^G_0(k)_{\mathbb{Q}}$ 的秩为 $m$，而 $CH^*_G(k,0)_{\mathbb{Q}}$ 的秩为 1）。
• 证明对 $R(G)$ 和 $S(G)$ 的增强理想 $I_G$ 与 $J_G$ 的完备化提供了恢复黎曼-罗赫同构所需的最小扰动。
• 建立一个陈特征同构 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)} \xrightarrow{ch} CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$，具有有理系数，推广了埃迪丁-格雷厄姆在 $G_0$ 层次的结果。

提出的方法

• 定义表示环 $R(G)$ 的 $I_G$-进完备化 $\widehat{R(G)}$ 和等变查沃环 $S(G) = CH^*_G(k,0)$ 的 $J_G$-进完备化 $\widehat{S(G)}$。
• 通过完备化解决秩不匹配问题，构造一个具有有理系数的陈特征映射 $ch: K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)} \to CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$。
• 通过构造一个具有自由 $G$-作用的 $G$-等变解析 $X' \to X$，将问题约化到非等变情形，并对商簇 $X'_G$ 应用布洛赫的黎曼-罗赫定理，证明该映射是同构。
• 利用等变映射在K-理论和查沃群上的拉回与上推映射是 $R(G)$-线性，且对正规映射成立投影公式这一事实。
• 通过 $X'$ 与 $X$ 的交换图证明等变黎曼-罗赫映射 $\tau^G_X$ 是满射，利用完备化映射的满射性及非等变情形下的同构性。
• 通过证明 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(T)} \xrightarrow{\eta^G_T} K^T_i(X) \otimes_{R(T)} \widehat{R(T)}$ 是同构（对半单 $G$ 及其极大环面 $T$），推广了梅尔库杰夫的结果，利用完备化K-理论与查沃群之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在存在表示论秩差异导致朴素等变K-理论与查沃群不匹配的前提下，建立等变K-理论与等变高阶查沃群之间的黎曼-罗赫同构？
• RQ2 是否 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)}$ 的 $I_G$-进完备化是使同构恢复到 $CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$ 所需的最小扰动？
• RQ3 是否存在一个从完备化等变K-理论到完备化等变高阶查沃群的陈特征映射？它是否具有有理系数的同构性？
• RQ4 黎曼-罗赫同构能否推广到 $G_0$ 之外的更高K-群？它是否对任意半单群成立？
• RQ5 对于半单群 $G$ 的极大环面 $T$，是否存在一个由完备化诱导的同构，将 $K^G_i(X)$ 与 $K^T_i(X)$ 关联起来，即使在 $X$ 不光滑但 $G$ 作用具有有限稳定子群时也成立？

主要发现

• 具有有理系数的陈特征映射 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)} \xrightarrow{ch} CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$ 是同构，解决了朴素映射中的秩不匹配问题。
• 等变黎曼-罗赫同构 $\widehat{K^G_i(X)} \xrightarrow{\widehat{\tau}^G_X} \widehat{CH^*_G(X,i)}$ 对具有线性代数群作用的光滑代数簇成立，推广了埃迪丁-格雷厄姆在 $G_0$ 层次的结果。
• 对 $R(G)$ 和 $S(G)$ 的增强理想 $I_G$ 与 $J_G$ 的完备化是必不可少的：若无此完备化，同构将不成立，如有限群 $G$ 下 $K^G_0(k)_{\mathbb{Q}}$ 与 $CH^*_G(k,0)_{\mathbb{Q}}$ 之间的秩差异所示。
• 该同构通过构造一个具有自由 $G$-作用的 $G$-等变解析 $X' \to X$ 约化到非等变情形，其中 $X'_G$ 是拟射影的，布洛赫定理适用。
• $\eta^G_T: K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(T)} \to K^T_i(X) \otimes_{R(T)} \widehat{R(T)}$ 是同构，对任意连通分裂半单群 $G$ 及其极大环面 $T$ 成立，即使 $X$ 是奇异的，只要 $G$ 作用具有有限稳定子群。
• 通过定理3.8，同构 $CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(T)} \cong CH^*_T(X,i) \otimes_{S(T)} \widehat{S(T)}$ 成立，这是证明环面比较结果的关键。