[论文解读] Riemann-Roch-Hirzebruch theorem and Topological Quantum Mechanics

Boris Feigin, A. Losev+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于拓扑量子力学的新推导方法，利用复流形上全纯微分算子的dg代数的完成霍赫希尔德同调与循环同调，推导了黎曼-罗赫-赫兹布吕赫（RRH）定理。通过在张量积上引入完成过程并利用梅塞积（Massey operations），作者表明微分算子的超迹源于完成循环同调中的高阶迹，且RRH公式中的积分自然地作为上同调类上高阶迹泛函的一个分量出现。

ABSTRACT

In the present paper we discuss an independent on the Grothendieck-Sato isomorphism approach to the Riemann-Roch-Hirzebruch formula for an arbitrary differential operator. Instead of the Grothendieck-Sato isomorphism, we use the Topological Quantum Mechanics (more or less equivalent to the well-known constructions with the Massey operations from [KS], [P], [Me]). The statement that the Massey operations can "produce" the integral in some set-up, has an independent from the RRH theorem interest. We finish the paper by some open questions arising when the main construction is applied to the cyclic homology (instead of the Hochschild homology).

研究动机与目标

• 提供一种避免依赖格罗滕迪克-佐藤同构的黎曼-罗赫-赫兹布吕赫公式的替代推导。
• 通过拓扑量子力学与梅塞积，建立RRH定理中积分的物理与代数解释。
• 通过完成过程重新定义霍赫希尔德同调与循环同调，推广微分算子上的迹结构。
• 探索完成循环同调中高阶迹的作用及其与特征类和欧拉示性数的关系。
• 研究微分算子dg代数的循环同调结构及其在高余维数下的意义。

提出的方法

• 将微分算子的超迹定义为全纯向量丛上全局全纯微分算子代数上的迹。
• 在微分算子层的Dolbeault上同调展开上构造一个dg代数结构，记为 $\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})$。
• 引入张量积的完成 $\widehat{\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})^{\otimes k}}$，以使霍赫希尔德同调可计算。
• 证明完成霍赫希尔德同调 $\widehat{\mathrm{HH}}_{-k}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$ 同构于 $\mathrm{H}^{2n-k}(X,\mathbb{C})$，其中 $n = \dim_{\mathbb{C}}(X)$。
• 定义完成循环复形 $\widehat{\operatorname{Cycl}}_{\bullet}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$，并计算其上同调为 $X$ 的偶数阶上同调群的直和。
• 在完成循环同调上构造高阶迹泛函 $\Upsilon_{2i}$，其中 $\Upsilon_{2i}$ 通过循环圈上的迹公式映射到 $\mathbb{C}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖格罗滕迪克-佐藤同构的前提下推导黎曼-罗赫-赫兹布吕赫公式？
• RQ2 梅塞积与拓扑量子力学如何自然地编码RRH定理中的积分？
• RQ3 完成霍赫希尔德同调与循环同调在将超迹实现为高阶迹泛函中起什么作用？
• RQ4 在 $\mathrm{H}^{2n-2}(X) \oplus \mathrm{H}^{2n}(X)$ 上，高阶迹 $\Im_{-2}$ 的分量 $\Im_{-2}^{2n}$ 是否与积分泛函相差一个常数？
• RQ5 映射 $\Im_{-2}^{2n-2} : \mathrm{H}^{2n-2}(X) \to \mathbb{C}$ 的几何意义是什么？它是否为零，或与特征类相关？

主要发现

• 完成霍赫希尔德同调 $\widehat{\mathrm{HH}}_{-k}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$ 同构于 $\mathrm{H}^{2n-k}(X,\mathbb{C})$，为微分算子dg代数的同调提供了拓扑解释。
• 完成循环同调 $\mathbb{H}^{-i}(\widehat{\operatorname{Cycl}}_{\bullet}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})))$ 同构于直和 $\bigoplus_{j \geq 0} \mathrm{H}^{2n-i+2j}(X)$，揭示了高阶迹的丰富结构。
• 超迹 $\operatorname{str}(\mathcal{D})$ 被实现为完成循环同调上的高阶迹泛函 $\Upsilon_{2i}$，其中度数为 $-2$ 的分量 $\Upsilon_2$ 捕获了三个算子循环积的迹。
• 分量 $\Im_{-2}^{2n} : \mathrm{H}^{2n}(X) \to \mathbb{C}$ 被猜想与积分泛函成比例，其证据来自 $[\operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id}]$ 映射到 $\mathrm{ch}(E) \cdot \mathrm{Td}(T_X)$ 的度数 $2n-2$ 分量。
• 分量 $\Im_{-2}^{2n-2} : \mathrm{H}^{2n-2}(X) \to \mathbb{C}$ 一般非零，其在循环圈 $[\mathcal{D}_1 \otimes \mathcal{D}_2 \otimes \mathcal{D}_3]$ 上的值由循环和 $\sum_{\sigma \in \Sigma_3} (-1)^{\natural(\sigma)} \mathcal{D}_{\sigma(1)} \circ \mathcal{D}_{\sigma(2)} \mathcal{D}_{\sigma(3)}$ 的超迹给出。
• 值 $\Im_{-2}^{2n-2}([\operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id}])$ 等于 $\mathrm{Td}(T_X) \cdot \mathrm{ch}(E)$ 的度数 $2n-2$ 部分；若 $\Im_{-2}^{2n}$ 为积分，则由RRH定理可知其必须为零，暗示了一个深刻的相容性条件。